Divisibilidade, multiplicidade, MDC e MMC

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Tabela de conteúdo

[editar] Divisibilidade

Dizemos que um número natural é divisível por outro quando ao dividirmos um pelo outro não sobra resto.

Exemplos:

1) 8 é divisível por 2 pois:

Mmc1.jpg



2) 15 é divisível por 3 pois:

Mmc2.jpg



[editar] Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 quando for par.

[editar] Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 3.

Exemplos:

1) 108 é divisível por 3 pois 1+0+8 = 9 que é divisível por 3.

2) 62124 é divisível por 3 pois 6+2+1+2+4 = 15 que é divisível por 3.

3) 1112 não é divisível por 3 pois 1+1+1+2 = 5 que não é divisível por 3.

[editar] Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos da direita formarem um número divisível por 4 ou forem 00 (zero e zero).

Exemplos:

1) 108 é divisível por 4, pois 08 é divisível por 4.

2) 62124 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.

3) 1112 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4.

4) 2007 não é divisível por 4, pois 07 não é divisível por 4.

5) 500 é divisível por 4, pois termina com 00.

[editar] Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 quando o último algarismo da direita for 5 ou 0 (zero).

Exemplos:

1) 108 não é divisível por 5.

2) 62124 não é divisível por 5.

3) 245 é divisível por 5.

4) 110 é divisível por 5.

[editar] Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

Exemplos:

1) 108 é divisível por 6 pois é par (divisível por 2) e 1 + 0 + 8 = 9 que é divisível por 3.

2) 62124 é divisível por 6 pois é par (portanto divisível por 2) e 6 + 2 + 1 + 2 + 4 = 15 que é divisível por 3.

3) 245 não é divisível por 6 pois não é par (não é divisível por 2).

4) 110 não é divisível por 6, pois 1 + 1 + 0 = 2 que não é divisível por 3.

[editar] Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando o número formado pelos 3 últimos algarismos da direita for divisível por 8 ou forem 000.

Exemplos:

1) 3112 é divisível por 8 pois 112 é divisível por 8.

2) 64124 é divisível por 8 pois 124 é divisível por 8

3) 27810 é divisível por 8 pois 810 é divisível por 8

4) 32110 não é divisível por 8 pois 110 não é divisível por 8.

[editar] Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 quando termina com 0 (zero).

[editar] Divisores de um Número

Divisor de um número é aquele que ao dividir este número não deixa resto.

Como exemplo acharemos o conjunto dos divisores de 32:

Os números 1, 2, 4, 8, 16 e 32 ao dividirem 32 não deixam resto, portanto eles são os divisores de 32, e escrevemos:

D(32)={1,2,4,8,16,32} \,\!

Os divisores de um número são sempre iguais ou menores que ele, pois, como estamos trabalhando com números naturais, não podemos dividir um número por outro maior que ele. E por isso a quantidade de divisores de um número é sempre finita.

[editar] Números Primos

Números primos são todos os números naturais que possuem apenas dois divisores naturais distintos: 1 e ele mesmo.

Exemplos:

1) O 2 é primo pois D(2)={1 e 2}

2) O 3 é primo pois D(3)={1 e 3}

3) O 5 é primo pois D(5)={1 e 5}

4) O 6 não é primo pois D(6)={1,2,3 e 6}

5) O 9 não é primo pois D(9)={1,3 e 9}

OBS: o número 1 por definição não é incluído no conjunto dos números primos. O número 2 é o único número primo que é par.

Pode-se provar que a quantidade de números primos é infinita. A seguir mostramos apenas os números primos menores que 50: P={1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43 e 47}

[editar] Teorema Fundamental da Aritmética

Este teorema afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos).

Exemplos:

1) 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3

2) 350 = 2 \times 5 \times 5 \times 7

Existe um modo simples para encontrar os fatores primos de um número. Dividimos este número pelo seu menor divisor primo. A seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desteciente. Assim repetimos até obter o quociente 1.

Exemplo:

1) Vamos encontrar os fatores primos de 420:

Mmc3.jpg



Portanto, 420 = 2 x 2 x 3 x 5 x 7

[editar] Encontrando Divisores de um Número

Para determinar todos os divisores de um número utilizamos os seus fatores primos. Inicialmente decompomos o número em fatores primos. Ao lado fazemos uma coluna que será dos divisores e acima colocamos o número 1, pois o 1 é divisor de qualquer número. Multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo. Os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.

Exemplo:

1) Vamos obter os divisores de 150:

Mmc4.jpg

Logo D(150)={1,2,3,6,5,10,15,25,30,50,75 e 150}

[editar] Exercícios

1) Um conjunto possui 18 elementos. Quais as possibilidades existentes para se dividir esse conjunto em grupos com quantidades iguais de elementos?

2) Obtenha os divisores de:

a) D(64)

b) D(100)

c) D(330)

d) D(121)

e) D(41)

[editar] M. D. C. – Máximo Divisor Comum

Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Para explicar como encontramos o máximo divisor comum usaremos o seguinte exemplo:

1) Vamos encontrar o MDC de 12 e 30. Primeiro devemos achar os divisores de 12 e 30:

D(12)={1,2,3,4,6 e 12} \,\!

D(30)={1,2,3,5,6,10,15 e 30} \,\!

Observando os divisores dos dois números percebemos que 1, 2, 3 e 6 são divisores comuns à 12 e 30. Portanto o maior dos divisores comuns, ou máximo divisor comum, de 12 e 30 é o 6, e indicamos:

MDC (12,30) = 6



Existe um modo simples de encontrar o MDC de dois ou mais números. Basta decompor esses números nos seus fatores primos. O MDC será a multiplicação dos fatores primos comuns a esses números.

Exemplo:

1) Vamos encontrar o MDC(36,90):

36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3

90 = 2 \times 3 \times 3 \times5

Destacamos os fatores que são comuns aos dois números. Portanto o MDC de 36 e 90 será multiplicação desses fatores :

MDC(36,90) = 2 \times 3 \times 3 = 18

[editar] Exercícios

3) Calcule os seguintes MDC’s.

a) MDC(24,56)

b) MDC(30,36)

c) MDC(82,45)

[editar] Múltiplos de um Número

Para encontrar os múltiplos de um número devemos multiplicar este número por números naturais.

Exemplo:

1) Vamos encontrar os múltiplos de 3:

3 \times 0 = 0

3 \times 1 = 3

3 \times 2 = 6

3 \times 3 = 9

3 \times 4 = 12

3 \times 5 = 15

Então 0, 3, 6, 9, 12, 15, ... são múltiplos de 3. Como existem infinitos números naturais podemos encontrar infinitos múltiplos de 3. Para representar os múltiplos de 3, usaremos a seguinte notação:

M(3)={0,3,6,9,12,15,18,24,......} \,\!

[editar] Exercícios

4) Diga se é verdadeiro ou falso:

a) 24 é múltiplo de 2.

b) 52 é múltiplo de 4.

c) 50 é múltiplo de 8.

5) Alguns automóveis estão estacionados na rua. Se você contar as rodas dos automóveis, o resultado pode ser 42? Pode ser 72? Porquê?

[editar] M. M. C. – Mínimo Múltiplo Comum

Explicaremos como se faz para encontrar o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números através do seguinte exemplo:

1) Vamos encontrar o MMC de 4 e 6:

Primeiro devemos calcular os múltiplos de cada número:

M(4)={0,4,8,12,16,20,24,28,32,......}\,\!

M(6)={0,6,12,18,24,30,36,42,48.....} \,\!



Dentre os múltiplos, destacamos aqueles que são comuns à 4 e 6. Ou seja, os números 0, 12, 24 e 36 são múltiplos tanto do 4 quanto do 6, portanto, dizemos que eles são múltiplos comuns.

Assim o menor dos múltiplos comuns, ou mínimo múltiplo comum, de 4 e 6 é o 12. E escrevemos:

MMC(4,6) = 12 \,\!



OBS: não consideramos o 0 (zero) pois ele é múltiplo de todos os números naturais.

2) Vamos encontrar o MMC(5,15):

M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,...} \,\!

M(15)={0,15,30,45,60...} \,\!



Portanto MMC(5,15) = 15 .

Podemos encontrar o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números através do processo da decomposição simultânea. Neste processo decompomos em fatores primos todos os números ao mesmo tempo. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o MMC desses números.

Exemplo:

1) Vamos encontrar MMC(15, 50):

Mmc5.jpg



Logo o MMC(15, 50) = 2 x 3 x 5 x 5 = 150

2) Vamos encontrar MMC(15,24,60):

Mmc6.jpg



Logo o MMC(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

[editar] Números Primos entre si

Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1.

Exemplos:

1) Os números 25 e 8 são números primos entre si, pois MDC(25,8) = 1.

2) Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois MDC (35,21) = 7

O MMC de números que são primos entre si é sempre igual ao produto desses números.

Exemplo:

1) MMC(25,8):

Mmc7.jpg



Logo MMC(25,8) = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 = 8 x 25 = 200

[editar] Exercícios

6) Calcule os seguintes MMC’s.

a) MMC(4,10)

b) MMC(9,18)

c) MMC(7,13)

d) MMC(20,25)

e) MMC(8,7,56)

f) MMC(5,9,12)

[editar] Respostas dos Exercícios

1) Podemos dividir em grupos de 1, 2, 3, 4, 6, 9, ou 10 elementos.

2) a) D(64)={1,2,4,8,16,32 e 64}

b) D(100)={1,2,4,5,10,20,25,50 e 100}

c) D(330)={1,2,3,5,6,10,11,15,22,30,33,55,66,110,165 e 330}

d) D(121)={1,11 e 121}

e) D(41)={1 e 41}

3) a) MDC(24,56) = 8

b) MDC(30,36) = 6

c) MDC(82,45) = 1

4) a) V

b) V

c) F

5) Não. Sim. Porque 72 é múltiplo de 4 e 42 não é.

6) a) MMC(4,10) = 20

b) MMC(9,18) = 18

c) MMC(7,13) = 91

d) MMC(20,25) = 100

e) MMC(8,7,56) = 56

f) MMC(5,9,12) = 180

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