Equações e Funções Exponenciais

De Cadernoteca Livre

Ir para: navegação, pesquisa

A CADERNOTECA FOI TRANSFERIDA PARA O ENDEREÇO
cadernoteca.polignu.org

Visite a página que você estava procurando usando o link:
http://cadernoteca.polignu.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%B5es_e_Fun%C3%A7%C3%B5es_Exponenciais







Voltar para Álgebra.

Tabela de conteúdo

[editar] Introdução

Até agora, no estudo das funções, vimos que existem muitos problemas reais que podem ser estudados por meio de uma função. Vimos que o escoamento de água por uma tubulação pode ser estudado por uma função de 1º grau (função linear), assim como o movimento de um veículo com velocidade constante. Vimos também que o movimento de um veículo com aceleração constante pode ser aproximado por uma função do segundo grau, assim como o cálculo da área máxima de um cercado retangular.

A função do primeiro grau estuda as grandezas que têm um crescimento constante ou linear, que pode ser pensado a partir de uma regra de três. Pense no movimento retilíneo uniforme, partindo do repouso. Se um veículo percorre 1 metro em 1 segundo, percorrerá 2 metros em 2 segundos, 5 metros em 5 segundos e assim por diante...

Já a função do segundo grau não tem essa característica. Se um veículo em M.U.V. percorre 1 metro em 1 segundo, de acordo com as equações já estudadas, ele percorrerá 4 metros em 2 segundos, 9 metros em 3 segundos, 16 metros em 4 segundos, 100 metros em 10 segundos e assim por diante.

Dizemos que a distância percorrida pelo veículo em M.R.U. aumenta linearmente, enquanto que a distância percorrida pelo veículo em M.U.V. aumenta quadraticamente.

Abaixo apresentamos uma comparação desses dois exemplos, através de gráficos e tabelas:

M.R.U

Tempo Distância Percorrida
1 s 1 m
2 s 2 m
3 s 3 m
4 s 4 m
8 s 8 m
10 s 10 m

Tabela de S(t) = t;

Mru.jpg



M.U.V

Tempo Distância Percorrida
1 s 1 m
2 s 4 m
3 s 9 m
4 s 16 m
8 s 64 m
10 s 100 m

Tabela de S(t) = t2;

Muv.jpg



Note também este outro exemplo:

M.R.U

Tempo Distância Percorrida
1 s 7 m
2 s 14 m
3 s 21 m
4 s 28 m
8 s 56 m
10 s 70 m

Tabela de S(t) = 7t;

Mru2.jpg



M.U.V

Tempo Distância Percorrida
1 s 7.1 = 7 m
2 s 7.4 = 28 m
3 s 7.9 = 63 m
4 s 7.16 = 112 m
8 s 7.64 = 448 m
10 s 7.100 = 700 m

Tabela de S(t) = 7t2;

Muv2.jpg



Existem grandezas que crescem de outra maneira. Por exemplo, existem bactérias que tem a capacidade de se reproduzir por duplicação e cada bactéria mãe gera uma filha idêntica. Pensando em uma situação em que uma bactéria desse tipo é isolada e se reproduza uma vez a cada dia, teremos que no primeiro dia a população duplicará, passando a ser de duas bactérias (mãe + filha). Considerando que a mãe e a filha se reproduzam por duplicação no segundo dia, a população passará de 2 para 4 bactérias, duplicando-se novamente. Se esse tipo de reprodução continuar pelos próximos dias, teremos que sempre haverá uma duplicação da população de bactérias que podemos registrar na seguinte tabela:

Dias de isolamento Número de bactérias presentes
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
6 64
7 128

Tabela de f(x) = 2x;



Essa tabela mostra que o número de bactérias presentes é função do número de dias de isolamento, dada por y = 2x (y – número de bactérias; x – dias de isolamento) e pode ser apresentado no seguinte gráfico.

Exp1.jpg



Esse tipo de crescimento é totalmente diferente das funções que já estudamos e é chamado de crescimento exponencial. A função apresentada também é chamada de função exponencial.

[editar] Definição

Função exponencial é toda função da forma: f(x)=a^x \,\!, sendo a > 0 \,\! e a \ne 1.

[editar] Comparação com as funções anteriores

No exemplo citado das bactérias, imagine:

As tabelas e gráficos comparando as três situações são apresentados logo abaixo. Note que o crescimento exponencial é mais “vigoroso” que os demais.

Exp2.jpg



Tempo (dias) Nº de bactérias (crescimento linear) Nº de bactérias (crescimento quadrático) Nº de bactérias (crescimento exponencial)
0 1 1 1
1 3 2 2
2 5 5 4
3 7 10 8
4 9 17 16
5 11 26 32
6 13 37 64
7 15 50 128
8 17 65 256
9 19 82 512

Tabela de crescimento linear (f(x) = x + 2), crescimento quadrático (f(x) = x2 + 1) e crescimento exponencial (f(x) = 2x) ;



[editar] A potenciação

Para saber lidar com as funções exponenciais, é fundamental que recordemos aqui algumas propriedades da potenciação.

  1. Os números envolvidos na potenciação tem as seguintes definições:

    Exp3.jpg


  2. A potenciação é uma extensão da multiplicação (assim como a multiplicação é uma extensão da soma).

    Ex: assim como 2.5 = 2+2+2+2+2, temos que 25 = 2.2.2.2.2;


  3. Sendo assim, note que a multiplicação de potências de mesma base se faz somando os expoentes:

    2^3.2^5 = \begin{matrix} \underbrace{2.2.2.} \\ 2^3 \end{matrix}  \begin{matrix} \underbrace{2.2.2.2.2} \\ 2^5 \end{matrix} = \begin{matrix} \underbrace{2.2.2.2.2.2.2.2} \\ 2^{3+5} \end{matrix} = 2^8


    Por outro lado, como 23 = 8 e 25 = 32, então 23.25 = 8.32 = 256. Isso comprova que 23.25 = 28.

  4. Da mesma forma, toda divisão de potência de mesma base se faz subtraindo os expoentes.

    Ex: \frac{2^5}{2^3} = \frac{2.2.2.2.2}{2.2.2} = \frac{2.2.\not2.\not2.\not2}{\not2.\not2.\not2} = \begin{matrix} \underbrace{2.2} \\ 2^{5-3} \end{matrix} = 2^2


    Note que \frac{2^5}{2^3}=\frac{32}{8}=4=2^2.

  5. Da mesma forma, toda potenciação de uma potenciação se realiza multiplicando os expoentes.

    Ex: \left ( 2^3 \right ) ^2 = 2^3 . 2^3 = 2^{3+3} = 2^{2.3} = 2^6


    Note que  \begin{matrix} \underbrace{\left ( 2^3 \right )} \\ 8 \end{matrix} ^2 = 8^2 = 64 = 2^6.

  6. Da mesma forma, toda radiciação de uma potenciação se realiza dividindo-se os expoentes.

    Ex: \sqrt[3]{2^9} = \sqrt[\not3]{\left ( 2^{\frac{9}{3}} \right ) ^{\not3}} = 2^{\frac{9}{3}} = 2^3


    Note que: \sqrt[3]{2^9}=\sqrt[3]{512}=8=2^3.

  7. Toda potenciação com expoente 0 é igual a 1.

    Ex: \frac{2^5}{2^5}=1=2^{5-5}=2^0
    .
  8. Das propriedades acima, vemos que, uma potenciação com expoente negativo é igual a uma potenciação com o mesmo expoente positivo e base invertida.

    Ex:\begin{matrix} 2^{5} & . & \underbrace{2^{-5}} \\  & & \frac{1}{2^5} \end{matrix} = 2^{5+(-5)} = 2^0 = 1


    Outros exemplos: 6^{-3}=\left( \frac{1}{6} \right)^3, 5^{-\frac{3}{4}}=\left( \frac{1}{5} \right)^{\frac{3}{4}}.

    Obs: todas as propriedades citadas antes valem para expoente negativo.

  9. A igualdade das potenciações: duas potenciações são iguais se suas bases e seus expoentes forem estritamente iguais. Essa propriedade será fundamental na resolução de equações, como nos exemplos.

    Ex: 2^{x+2}=64 \Rightarrow 2^{x+2}=2^6 \Rightarrow x+2 = 6 \Rightarrow x = 4

    Outro exemplo:

    (y+x)^{y-x} = 9 \Rightarrow (y+x)^{y-x} = 3^2 \Rightarrow \left \{ \begin{matrix} y+x=3 \\ y-x=2 \end{matrix} \right. \Rightarrow \left \{ \begin{matrix} y=2 \\ x=1 \end{matrix} \right.

[editar] Equações exponenciais

São todas as equações cujas incógnitas encontram-se no expoente. As formas mais comuns de se resolver equações exponenciais são: através das propriedades da potenciação (principalmente a 9) e através da substituição da exponenciação por uma nova variável.

a) Aproveitando as propriedades da potenciação:

Exemplo: vamos resolver a equação 3^x = \sqrt[5]{27}.

3^x = \sqrt[5]{27} \Rightarrow 3^x = \sqrt[5]{3^3} \Rightarrow 3^x = 3^{\frac{3}{5}} \Rightarrow x = \frac{3}{5}



Outro exemplo, vamos resolver \sqrt[x]{4^{x+1}}.\sqrt[x+1]{8^{2x+1}} = \sqrt{512}.

\sqrt[x]{4^{x+1}}.\sqrt[x+1]{8^{2x+1}} = \sqrt{512} \Rightarrow

\Rightarrow 4^{\frac{x+1}{x}}.8^{\frac{2x+1}{x+1}} = \sqrt{512} \Rightarrow

\Rightarrow \left( 2^2 \right)^{\frac{x+1}{x}}.\left( 2^3 \right)^{\frac{2x+1}{x+1}} = \sqrt{\left( 2^9 \right)} \Rightarrow

\Rightarrow 2^{\left (2.\frac{x+1}{x} \right)}.2^{\left( 3.\frac{2x+1}{x+1} \right)} = 2^{\frac{9}{2}} \Rightarrow

\Rightarrow 2^{\left( 2.\frac{x+1}{x} + 3.\frac{2x+1}{x+1} \right)} = 2^{\frac{9}{2}} \Rightarrow

\Rightarrow 2.\frac{x+1}{x} + 3.\frac{2x+1}{x+1} = \frac{9}{2}



Note que a equação exponencial resultou em uma equação algébrica, cuja resolução é feita a seguir:

2.\frac{x+1}{x} + 3.\frac{2x+1}{x+1} = \frac{9}{2} \Rightarrow

\Rightarrow 2.\frac{2.(x+1).(x+1)}{2.x.(x+1)} + 3.\frac{2.(2x+1).x}{2.(x+1).x} = \frac{9.x.(x+1)}{2.x.(x+1)} \Rightarrow

\Rightarrow \frac{4.[(x+1).(x+1)]+6.[(2x+1).x]}{2.x.(x+1)}  = \frac{9.x.(x+1)}{2.x.(x+1)}\Rightarrow

\Rightarrow 4.[(x+1).(x+1)]+6.[(2x+1).x] = 9.x.(x+1)\Rightarrow

\Rightarrow 4.[x^2+2x+1]+6.[2x^2+x] = 9.(x^2+x)

\Rightarrow 4x^2+8x+4+12x^2+6x = 9x^2+9x

\Rightarrow 7x^2-3x-4 = 0 \Rightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1=1 \\ x_2= - \frac{4}{7} \end{matrix} \right.



Neste caso, a equação algébrica transformou-se em uma equação do segundo grau, resolvida através da fórmula de Bháskara. Note que este exercício cobrou vários conceitos na resolução de equações exponenciais.

Um outro modo de resolução se dá através de substituição por outra variável.

Neste caso, quando há uma exponenciação comum em todos os termos da equação, podemos substituí-la por uma variável simples, de modo a tornar a equação do 1º ou 2º graus e facilitar a resolução.

Exemplo: vamos resolver 9x + 3 = 4.3x.

9^x + 3 = 4.3^x \Rightarrow \left( 3^2 \right)^x + 3 = 4.3^x \Rightarrow \left( 3^x \right)^2 + 3 = 4.3^x

Aproveitando-se de que o termo aparece em alguns termos da equação (e não aparece nenhum outro tipo de exponenciação diferente), podemos fazer 3x = y, e daí teremos:

y^2 + 3 = 4y \Rightarrow y^2 - 4y + 3 = 0 \Rightarrow \left \{ \begin{matrix} y_1=3 \\ y_2=1 \end{matrix} \right.



Como y = 3x é o valor que precisamos descobrir, fazemos:

\left \{ \begin{matrix} y_1 = 3^{x_1} \\ y_2 = 3^{x_2} \end{matrix} \right. \Rightarrow \left \{ \begin{matrix} 3 = 3^{x_1} \\ 1 = 3^{x_2} \end{matrix} \right. \Rightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1 = 1 \\ x_2 = 0 \end{matrix} \right.



Note que após resolver as equações do 1º/2º graus, criamos uma equação exponencial e a resolvemos, gerando a solução final.

[editar] Exponenciais Crescentes e Decrescentes

Vamos observar mais um caso em que se usa funções exponenciais.

As substâncias químicas radioativas possuem uma característica que é chamada de meia-vida. A meia-vida é um período de tempo no qual a quantidade presente da substância radioativa reduz-se para metade do seu valor inicial e a radiação emitida (muitas vezes prejudicial aos seres humanos) vai sendo diminuída.

Para exemplificar esse conceito, suponha uma quantidade de 1 kg da substância Urânio 238 que foi isolada. Após uma meia-vida, teremos a metade disso (ou seja 0,5 Kg ou 500 g). Após mais uma meia vida (duas meias-vidas) teremos 0,25 Kg (ou 250 g) de Urânio 238 e assim em diante. A meia-vida do Urânio 238 é de 5 bilhões de anos.

A quantidade de Urânio em função das meias-vidas que passaram é dado pela função ... cuja tabela e gráficos são mostrados a seguir.

Exp4.jpg



Nº de meias-vidas Quantidade de Urânio
0 1 Kg
1 0,5 Kg = 500 g
2 0,250 Kg = 250 g
3 0,125 Kg = 125 g
4 0,0625 Kg = 62,5 g

Tabela de f(x) = \left( \frac{1}{2} \right) ^x;



O caso das bactérias, dado no início do capítulo, é um exemplo de função exponencial crescente (ou decaimento exponencial). O caso da meia-vida é um exemplo de função exponencial decrescente.

[editar] Características das funções exponenciais

Dada a função f(x) = ax, temos:

Gráficos de funções crescente e decrescente:

Exp5.jpg
Gráfico função exponencial crescente



Exp6.jpg
Gráfico função exponencial decrescente

[editar] Inequações exponenciais

Todas as propriedades vistas na resolução de equações exponenciais também valem para inequações exponenciais. A única diferença é que o sinal pode se alterar no caso da função ser crescente ou decrescente.

Também tudo o que foi visto em inequações produto, modular e quociente valem se estivermos tratando de equações exponenciais.

Exemplo: Vamos resolver 2^{x^2-3x} > \left( \frac{1}{2} \right) ^2.

2^{x^2-3x} > \left( \frac{1}{2} \right) ^2 \Rightarrow 2^{x^2-3x} > 2^{-2} \Rightarrow x^2-3x > -2 \Rightarrow x^2-3x+2 > 0



As raízes de f(x) = x2 − 3x + 2 são x1 = 1 e x2 = 2. Logo, como f(x) = x2 − 3x + 2 tem concavidade para cima, vemos que x2 − 3x + 2 > 0 em x < 1 e x > 2. Logo o conjunto solução da inequação exponencial 2^{x^2-3x} > \left( \frac{1}{2} \right) ^2 é:

S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x < 1 \lor x > 2 \right \}



Outro exemplo:Vamos resolver \left( \frac{1}{3} \right)^{2x} = \frac{1}{27}.

\left( \frac{1}{3} \right)^{2x} < \frac{1}{27} \Rightarrow \left( \frac{1}{3} \right)^{2x} < \frac{1}{3^3} \Rightarrow \left( \frac{1}{3} \right)^{2x} < \left( \frac{1}{3} \right) ^3 \Rightarrow 2x > 3



Note que trocamos o sinal, pois a base é menor que 1 (a funcão f(x) = \left( \frac{1}{3} \right)^x é decrescente).

Logo, a solução será:  x > \frac{3}{2}.

[editar] Exercícios

  1. (PUC – PR adaptado) Resolva a equação 16.52x = 25.20x.

  2. (UECE adaptado) Se x1 e x2 são raízes da equação 2^{x^2}.5^{x^2}=0,001. \left( 10^{3-x} \right)^2, então quanto vale {x_1}^2+{x_2}^2?

  3. Resolva a equação 3x + 2 + 3x + 1 + 3x + 3x − 1 + 3x − 3 = 16119.

  4. (UEL – PR adaptado) Qual a diferença entre a maior e a menor raiz de 3^{x^2}.3^{7x}.3^12 = 1?

  5. (Mack – SP adaptado) Qual o produto das raízes de 22x − 3.2x + 2 = 0?

  6. (PUC – SP adaptado) Resolva a equação 4x + 4 = 5.2x.

  7. (Fatec – SP adaptado) Resolva a inequação 2x.4x < 8x + 1.

  8. (UFPa adaptado) Qual o conjunto solução de \left( \frac{1}{2} \right)^{x^2 - 2} < \frac{1}{4}?

  9. (Mack – SP adaptado) Qual o conjunto solução de 22x + 2 − 0,75.2x + 2 < 1?

  10. (PUC – RS adaptado) Qual o domínio da função y = \sqrt{2^{x+1}-2^{-x}}?

  11. (UFRGS adaptado) Descubra a soma de todos os números inteiros que satisfazem a desigualdade 81 − 1 < 32x + 1 < 27.

  12. (PUC – MG) Descubra o valor de x + y, sabendo que x e y são soluções do sistema: \left \{ \begin{matrix} 2^x = 4^y \\ 25^x = 25.5^y \end{matrix} \right..

[editar] Gabarito

  1. x = 2

  2. 10

  3. 7

  4. 1

  5. 0

  6. x1 = 0 e x2 = 2

  7. x > -\frac{3}{2}

  8. S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x < -2 \lor x > 2 \right \}

  9. S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x < 0 \right \}

  10. S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x \ge -\frac{1}{2} \right \}

  11. -3

  12. 2

[editar] Bibliografia e sites consultados

  1. http://www.ensinomedio.impa.br/

  2. http://pt.wikipedia.org/

  3. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Rui. Matemática Fundamental, 2º grau. Volume Único. São Paulo: FTD, 1994.
Ferramentas pessoais
Espaços nominais
Variantes
Visualizações
Ações
Navegação
Ferramentas