Função: Domínio e Conjunto Imagem

De Cadernoteca Livre

Ir para: navegação, pesquisa

Voltar para Álgebra.

Tabela de conteúdo

[editar] Introdução: Noção Intuitiva de Função

A idéia de função aparece sempre que relacionamos duas grandezas que podem variar seu valor. Por exemplo: Observe a tabela que relaciona a medida do lado de um quadrado com a sua área:

Lado 1 2 3 4 L
Área 1 4 9 16 L2

Sabemos que, nesse caso: Área = (lado)2.

Temos então que a área de um quadrado depende do seu lado, ou seja, a área de um quadrado é calculada EM FUNÇÃO do seu lado.

[editar] Exercícios

1. A tabela abaixo mostra o preço que uma certa companhia telefônica cobra pelo tempo que seus clientes utilizam o celular em ligações locais:

Tempo (minutos) Preço (reais)
1 0,95
2 1,90
3 2,85
4 3,80
5 4,75

Responda:

a) O que é dado em função de que?
b) Escreva a fórmula que relaciona o tempo do telefonema e o preço.
c) Quanto custa uma ligação de 35 minutos? E de 45 minutos?
d) Se um cliente teve sua conta calculada em R$ 123,50, por quanto tempo ele utilizou o celular em horas?

[editar] Definindo o conceito de função através dos conjuntos

Definição de função: Dados dois conjuntos A e B, uma função de A em B é uma regra que diz como associar cada elemento de A com um elemento de B.

Vamos considerar novamente a tabela que relaciona a área de um quadrado com o seu lado.

Seja então A um conjunto que contém os valores do lado do quadrado e B o conjunto que contém os valores da área do quadrado. Teremos que:

Função1.jpg

O diagrama de flechas representa uma função que leva os elementos de A ao seu quadrado em B.

É importante observar que todos os elementos de A têm correspondente em B e que, só sai uma flecha de cada elemento de A.

Sendo assim, nesse nosso caso, temos uma função de A em B (Notação: f: A \rightarrow B) que pode ser escrita pela expressão y = x2 ou f(x) = x2 .

[editar] Como reconhecer uma função pelo diagrama de flechas

Uma relação f de A em B é uma função se, e somente se, de cada elemento de A partir uma única flecha. Observe:

Função2.jpg

Temos que:

[editar] Exercícios

2. Considerando os conjuntos de cada item e a correspondência que os relaciona, desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondência f é uma função de A em B.

a)  A = \left \{ 1,2,3,4 \right \}; B = \left \{ 1,4,9,16 \right \}; y = x^2
b)  A = \left \{ 1,2,3,4 \right \}; B = \left \{ 1,4,12,16 \right \}; y = x^2
c)  A = \left \{ -1,1,0,5 \right \}; B = \left \{ 0,1,10,25 \right \}; y = x^2
d)  A = \left \{ 0,1,2 \right \}; B = \left \{ -2,-1,0,1,2 \right \}; y = x^2
e)  A = \left \{ 0,1,2 \right \}; B = \left \{ -2,-1,0,1,2 \right \}; y = x-2
f)  A = \left \{ 0,1,2 \right \}; B = \left \{ -2,-1,0,1,2 \right \}; y = x^2-2x+1

[editar] Domínio, Contradomínio e Conjunto Imagem de uma função

Vamos considerar uma função f de A em B.

Temos que:

Observe:

Seja A = \left \{ 0,1,2,3 \right \} e B = \left \{ 0,1,2,3,4,6,7,9 \right \}, vamos considerar a função f: A \rightarrow B que transforma x \in A em 3x \in B.

Função3.jpg

Temos que:

[editar] Exercícios

3. Considere a função f dada pelo diagrama e determine:

Função4.jpg

a) D(f)
b) CD(f)
c) Im(f)
d) f(3)
e) f(4)
f) x quando y=8
g) y quando x=3
h) f(x) quando x=4

4. Seja a função f: A \rightarrow B onde f(x) = 4x + 2 e o domínio A=\left\{-2,-1,0,1,2,3\right\}. Determine a imagem de f.
5. Seja a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x) = x^2+x \,\!. Determine a imagem do número 5.
6. Dada a função f(x) = x^2+4 \,\!. Determine f\left(2\right) e f\left(3\right).
7. Se f(x)= 3x+2m \,\! e g(x) = -2x+1 \,\!, calcule m sabendo que f\left(0\right)-g\left(1\right)=3.

[editar] Função Sobrejetora, Injetora e Bijetora

Função Sobrejetora: Uma função f: A \rightarrow B é sobrejetora se, e somente se, todo elemento de B é atingido por, pelo menos, uma flecha. (Ou seja, Im \left(f\right) = CD\left(f\right))

Função Injetora: Uma função f: A \rightarrow B é injetora se, e somente se, cada elemento de B é atingido por, no máximo, uma flecha. (Ou seja, x_1 \ne x_2 então f\left(x_1\right) \ne f\left(x_2\right))

Função Bijetora: Uma função f: A \rightarrow B é dita bijetora se, e somente se, é sobrejetora e injetora.

[editar] Exercícios

8. Classifique as funções do exercício 2. em sobrejetoras, injetoras ou bijetoras.

[editar] Estudo do domínio de uma função real

Muitos exercícios pedem para que, uma dada função f, se explicite seu domínio. O domínio de uma função é o maior subconjunto de \mathbb{R} tal que deixe a fórmula y=f\left(x\right) válida.


Veja os exemplos mais comuns:


D\left(f\right)=\mathbb{R}, pois qualquer que seja o valor real de x, podemos calcular y = 4x+5 \,\! nos reais.


D\left(f\right)=\mathbb{R}-\left\{0\right\}, pois podemos substituir x por qualquer número real, menos o zero – nunca se esqueça que não existe divisão por zero!


D\left(f\right)=\left\{x \in \mathbb{R} | x \ge 0\right\}, pois podemos substituir x apenas por números reais positivos – nos reais, não existe raiz de número negativo.


[editar] Exercícios Resolvidos

Vamos explicitar o domínio da função: f(x)= \sqrt{5-x}+\frac{1}{\sqrt{x-2}}.

Resolução:

[editar] Exercícios

9. Explicite o domínio das seguintes funções reais definidas por:

a) \frac{1}{x-6}

b) \frac{x}{x^2-9}

c) x^2+1 \,\!

d) \frac{x+1}{x}

e) \frac{1}{x^2 + 4x - 5}

f) \frac{x+1}{4}

g) \sqrt{x-7}

h) \sqrt{5-x}

i) \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2x-1}}

j) \frac{\sqrt{x-2}}{x-3}

[editar] Resposta dos exercícios

1)

a. O preço é dado em função do tempo
b. P = 0,95.T, onde P = preço em reais e T = tempo em minutos
c. R$ 33,25 ; R$ 42,75
d. 2 horas e 10 minutos

2)

a. É função
b. Não é função
c. É função
d. Não é função
e. É função
f. É função

3)

a. {1,2,3,4}
b. {0,6,7,8,10,12}
c. {0,6,8,10}
d. f(3) = 8
e. f(4) = 10
f. x = 3
g. y = 8
h. f(4) = 10

4) Im(f) = {-6,-2,2,6,10,14}
5) f(5) = 30
6) f(2) = 8; f(3) = 13
7) m = 1

[editar] Referências

1. Matemática – Contextos e Aplicações; Volume Único; Luiz Roberto Dante; Editora: Ática
2. Álgebra I – Coleção Objetivo; Giuseppe Nobilioni; Editora Sol

Ferramentas pessoais
Espaços nominais
Variantes
Visualizações
Ações
Navegação
Ferramentas