Função do Primeiro Grau

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Tabela de conteúdo

[editar] Introdução

Na última aula, aprendemos o que significa uma função (uma relação entre conjuntos numéricos), aprendemos a analisar uma função pelo diagrama de flechas, aprendemos a descobrir se ela é injetora, sobrejetora e bijetora, aprendemos o que significa seu conjunto domínio, contra-domínio e seu conjunto imagem e aprendemos a identificar as condições de existência dessa função.


Agora, vamos falar um pouco sobre um tipo especial de função: a função do primeiro grau. Para ficar mais claro o significado do que é função, vamos analisar o seguinte problema:


Uma companhia telefônica cobra seus serviços (por mês) dos clientes da seguinte forma:

a) Quanto o cliente que utilizar o serviço por 200 minutos em abril/09 pagará?
b) Qual a expressão que relaciona o número de minutos e o total da fatura a ser paga?


Lembrando-se da resolução de problemas com equações do primeiro grau, poderemos resolver o item a:


Para resolver o item b, vamos pensar de uma forma mais abrangente. Para quaisquer minutos que o cliente tiver utilizado teremos:


Ou seja (retirando os símbolos de moeda da conta),

(Total da conta telefônica) = 30 + (nº de minutos)*0,05



Daí temos:

y = 30 + x*0,05 \,\!


Veja se você consegue relacionar essa expressão com essas três frases (todas essas frases dizem a mesma coisa):


Para melhorar a explicação, vamos admitir que a empresa não cobra pelos segundos utilizados a mais (quem utilizou 200 minutos e 50 segundos, paga apenas 200 minutos).


Imagine um conjunto M que contém todos os números de minutos que o cliente pode utilizar em um mês (os valores de x estão neste conjunto – este é o conjunto domínio);

Funçãolinear1.jpg

Note que o conjunto M é o conjunto dos números naturais. Não podem existir, fisicamente, número de minutos negativos.

Imagine agora um conjunto D com todos os valores totais de uma conta telefônica (os valores de y estão neste conjunto – este é o conjunto contra-domínio);

Funçãolinear2.jpg

Note que o conjunto D é o conjunto dos números racionais, maiores que 30 (taxa fixa), com duas casas decimais (os valores do conjunto D são dados em reais – R$).

Imagine agora uma função que associa cada elemento de x com um elemento de y segundo essa regra: y = 30 + 0,05x.

Funçãolinear3.jpg

A função então é apresentada desta forma: f: M \rightarrow D | f \left( x \right)=30 + 0,05*x.

Entendeu como é usada a função?

Podemos dizer que esse é um dos assuntos mais importantes da matemática e, se você entendê-lo, entenderá muitos assuntos dentro da sua universidade, seja qual for a área do conhecimento em que você estiver.

[editar] Forma de Apresentação

Considere a função que estamos analisando f(x) = 30 + x * 0,05. Se essa função for apresentada desta forma:

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} | f \left( x \right) = 30 + 0,05*x

Isto significa que:


Mas se for apresentada da seguinte maneira:

f: M \rightarrow D | f \left( x \right) = 30 + 0,05*x


O domínio da função é o conjunto M.
O contra-domínio da função é o conjunto D.


O modo como a função é apresentada define se ela é sobrejetora, injetora e bijetora. Por exemplo, considere esses três conjuntos.



Ilustramos esses exemplos com os diagramas de flechas abaixo:

Funçãolinear4.jpg


Funçãolinear5.jpg


Funçãolinear6.jpg


Funçãolinear7.jpg


Como foi visto, a função do problema da conta telefônica:

f: M \rightarrow D | f \left( x \right) = 30 + 0,05*x


é uma função bijetora.


Agora veremos porque esta é uma função do primeiro grau.

[editar] Definição

Função do 1º grau é toda função que pode ser escrita na forma:

f \left(x \right) = ax + b ou y = ax + b \,\!


onde a e b são os coeficientes, x é a variável independente e y (ou f(x))é a variável que depende de x (variável dependente); O coeficiente a é chamado de coeficiente angular da equação do primeiro grau.

Para cada valor de x, a função terá um valor de y diferente.

[editar] Apresentação por meio de uma Tabela

Preste atenção na função f(x) = x + 4;

Vamos fazer uma tabela com a função f(x) = x + 4;

Se x for igual a... Então f(x) = x + 4 será igual a...
-5 -1
-3,5 0,5
2,7 6,7
1 5

Preste atenção na tabela de outras funções:

f(x) = x - 2
Se x for igual a... Então f(x) = x − 2 será igual a...
-3 -5
-2,5 -4,5
-1,7 -3,7
0 -2
1,7 -0,3
2,7 0,7



f(x) = x - 3
Se x for igual a... Então f(x) = x − 3 será igual a...
-3 -6
-2,5 -5,5
-1,7 -4,7
0 -3
1,7 -1,3
2,7 -1,7



f(x) = 2x - 2
Se x for igual a... Então f(x) = 2x − 2 será igual a...
-3 2*(-3)-2= -8
-2 2*(-2)-2= -6
-1 2*(-1)-2= -4
0 2*(0)-2= -2
1 2*(1)-2= 0
2 2*(2)-2= 2



f(x) = 0,5x - 2
Se x for igual a... Então f(x) = 0,5x − 2 será igual a...
-3 0,5*(-3)-2= -3,5
-2 0,5*(-2)-2= -3
-1 0,5*(-1)-2= -2,5
0 0,5*(0)-2= -2
1 0,5*(1)-2= -1,5
2 0,5*(2)-2= -1

[editar] Raiz (ou zero) de uma função do Primeiro Grau

Raiz de uma função função é o valor de x para o qual y é igual a zero.

No caso de uma função do primeiro grau, para achar a raiz substituímos f(x) por zero e calculamos o x correspondente.

Ex: Achar o zero das funções f(x) = 6x – 0,6; g(x) = 3x – 18 e h(x) = 4x + 5;

Procedemos da seguinte forma:


f(x) = 6x – 0,6 g(x) = 3x – 18 h(x) = 4x + 5
0 = 6x – 0,6 0 = 3x – 18 0 = 4x + 5
0,6 = 6x 18 = 3x -5 = 4x
6x = 0,6 3x = 18 4x = -5
x = \frac{0,6}{6} x = \frac{18}{3} x = \frac{-5}{4}
x = 0,1 x = 6 x = -\frac{5}{4}


Logo, a raiz (ou zero) de f(x) é 0,1; a raiz de g(x) é 6 e a raiz de h(x) é -\frac{5}{4}.

[editar] Gráfico de uma função do Primeiro Grau

Além do diagrama de flechas e da tabela, existe um outra forma de representar qualquer função: a forma gráfica. Para isso, nos utilizaremos do plano cartesiano (aquele com os eixos x e y que vimos na quinzena básica) e combinaremos o seguinte:

"Os pontos (x;y) que marcaremos no gráfico serão os pontos onde x é cada um dos valores da variável independente e y é o valor dado pela função para aquele x".

Podemos chamar os pontos (x; y) de pares ordenados.

Por exemplo:

Observe a tabela da função f(x) = 2x – 2 (dada no exemplo anterior);



f(x) = 2x - 2
Se x for igual a... Então f(x) = 2x − 2 será igual a...
-3 2*(-3)-2= -8
-2 2*(-2)-2= -6
-1 2*(-1)-2= -4
0 2*(0)-2= -2
1 2*(1)-2= 0
2 2*(2)-2= 2

Os pontos (pares ordenados) no plano cartesiano seriam (-3; -8), (-2; -6), (-1; -4), (0; -2), (1; 0) e (2; 2).

Observe esses pontos marcados no plano cartesiano.

Funçãolinear8.jpg

Observe agora, a tabela da função g(x) = 0,5x – 2 e os pontos no gráfico:



f(x) = 0,5x - 2
Se x for igual a... Então f(x) = 0,5x − 2 será igual a...
-3 0,5*(-3)-2= -3,5
-2 0,5*(-2)-2= -3
-1 0,5*(-1)-2= -2,5
0 0,5*(0)-2= -2
1 0,5*(1)-2= -1,5
2 0,5*(2)-2= -1


Funçãolinear9.jpg

Para gerar o gráfico de uma função, basta ligarmos os pontos. Observe como vai ficar o gráfico de f(x) = 2x –2 e o gráfico de g(x) = 0,5x – 2:


Funçãolinear10.jpg


Funçãolinear11.jpg

Note que o gráfico de f(x) = 2x – 2 passa pelo ponto (3; 4). Isto significa que, se x = 3, então f(x) = 4. Se fizermos as contas, f(x) = 2.3 – 2 = 4. Então, podemos dizer que o gráfico pode nos dar outros valores que não estejam na tabela. Por exemplo, se procurarmos o ponto onde x = 1,5 por onde a função passa, veremos que esse ponto é (1,5; 1). Logo, temos que se x = 1,5 então f(x) = 2.1,5 – 1 = 1.

Preste atenção no que será dito agora:

O gráfico de uma função do primeiro grau é sempre uma reta. Para desenhá-lo, precisamos saber somente dois pontos (x; y) que fazem parte da função. O coeficiente a indica o crescimento e o decrescimento da reta.

Ex: desenhe o gráfico da função f(x) = x + 4;

Marcamos os pontos primeiro e depois traçamos a reta:


Funçãolinear12.jpg

Note que o gráfico passa pelo ponto (-4; 0) ou seja, se x = -4, logo f(x) = 0;
Da mesma forma, o gráfico passa pelos pontos (-1; 3), (-2; 2); (-4; 0), etc...

[editar] Como descobrir uma função do Primeiro Grau a partir de dois pontos

Ex: vamos achar a função que contém a seguinte tabela:

f(x) = 0,5x - 2
Se x for igual a... Então f(x) = 0,5x − 2 será igual a...
-1 -2
-1 7

Note que os pontos no gráfico da função são (-1; -2) e (1; 7). Já poderíamos desenhar o gráfico dela sem ao menos conhecê-la.


Funçãolinear13.jpg

Pelo gráfico também, poderíamos saber vários pontos pelos quais passa a equação, mas não teríamos a sua forma algébrica (que é a forma f(x) = ax + b). Para descobri-la, precisamos descobrir os valores de a e de b.


f \left( x \right) = ax+b
 -2 = a*(-1)+b \,\!
 -2 = -a+b \,\!


f \left( x \right) = ax+b
 7 = a*(1)+b \,\!
 7 = a+b \,\!

Como, nas duas contas, o valor de a e de b devem ser os mesmos, teremos o seguinte sistema:


 \left \{ \begin{matrix} -2 = -a+b \\ 7 = a+b \end{matrix} \right.


Cuja resolução nos dá a = 3 e b = 1.

Logo, temos que a forma algébrica da função que tem a tabela acima é f(x) = 3x + 1. Isso nos ensina que:


Para conhecer a forma algébrica, ou o gráfico de uma função, só precisamos de dois pontos (pares ordenados) pertencentes a ela.

[editar] As equações do Primeiro Grau na Física

Você já deve ter aprendido, na Física, que um móvel em MRU percorre uma trajetória reta com velocidade constante. Vamos ver a relação desse tema com as equações de primeiro grau.

Preste atenção no desenho abaixo. Note que a velocidade do móvel é de 2 m/s e o ponto onde ele inicia o movimento é S0 = 1m (1m de distância do início da pista).


Funçãolinear14.jpg

Se a cada segundo, o carro percorre 2 m, note na tabela abaixo qual a posição do carro para cada instante de tempo:


Se t for igual a... Então o carro estará em S igual a...
0 1
1 3
2 5
3 7
4 9
5 11
6 13


Funçãolinear15.jpg

Note que esta tabela também está relacionada a uma função do primeiro grau (S = 2t + 1), que na Física, é um exemplo de uma função horária do movimento retilíneo uniforme. Seu gráfico é dado por:


Funçãolinear16.jpg

Agora, veja a "coindidência" entre a física e a matemática:




[editar] Exercícios


1. Desenhar os gráficos das seguintes equações no espaço apropriado 1:

a) y = x;
b) y = x + 1;
c) y = x – 3;


2. Desenhar os gráficos das seguintes equações no espaço apropriado 2:

a) y = x;
b) y = 2x;
c) y = 3x;


3. Desenhar os gráficos das seguintes equações no espaço apropriado 3:

a) y = -x;
b) y = -x –2
c) y = -x + 1;
d) y = -2x;
e) y = -3x;


4. Desenhar os gráficos das seguintes equações no espaço apropriado 4:

a) y = 2x + 1;
b) y = 2x;
c) y = 2x – 1;


5. O preço a pagar por uma corrida de táxi depende da distância percorrida. A tarifa P é composta por duas partes: uma parte fixa, denominada bandeirada e uma parte variável que depende do número d de quilômetros rodados. Suponha que a bandeirada esteja custando R$ 6,00 e o quilômetro rodado, R$ 1,20.

a) Expresse o preço P em função da distância d percorrida.
b) Quanto se pagará por uma corrida em que o táxi rodou 10 km?
c) Sabendo que a corrida custou R$ 20,00, calcule a distância percorrida pelo táxi.


6. Uma piscina de 30 mil litros, totalmente cheia, precisa ser esvaziada para limpeza e para isso uma bomba que retira água à razão de 100 litros por minuto foi acionada. Baseado nessas informações, pede-se:

a) a expressão que fornece o volume (V) de água na piscina em função do tempo (t) que a bomba fica ligada.
b) a expressão que fornece o volume de água que sai da piscina (VS) em função do tempo (t) que a bomba fica ligada.
c) o tempo necessário para que a piscina seja esvaziada.
d) quanto de água ainda terá na piscina após 3 horas de funcionamento da bomba?
e) o esboço do gráfico que representa o volume de água na piscina em função do tempo em que a bomba fica ligada.


7. Determinar a lei da função do 1º grau que passa pelo ponto (-2, 1) e cujo coeficiente angular é -4.


8. Determine a lei da função do 1º grau que passa pelos pares de pontos abaixo:

a) (0, 1) e (1, 4)
b) (-1, 2) e (1, -1)


9. Faça os gráficos das seguintes funções:

a) y = 2x + 3
b) y=\frac{-3x+1}{2}
c) y = –x


10. Em uma determinada loja, o salário mensal fixo de um vendedor é de R$ 240,00. Além disso, ele recebe R$ 12,00 por unidade vendida.

a) Expresse o ganho mensal (S) desse vendedor em função do número (u) de unidades vendidas.
b) Quantas unidades ele deve vender para receber um salário de R$ 700,00?
c) Determine o domínio e a imagem desta função.


11. Um botijão de cozinha contém 13 kg de gás. Sabendo que em média é consumido, por dia, 0,5 kg de gás:

a) Expresse a massa (m) de gás no botijão, em função do número (t) de dias de consumo.
b) Esboce o gráfico desta função.
c) Depois de quantos dias o botijão estará vazio?


12. A água congela a 0° C e a 32° F; ferve a 100° C e 212° F. A temperatura em graus Fahrenheit (F) varia linearmente com a temperatura em graus Celsius (C).

a) Expresse a temperatura em F em função de C e faça o gráfico desta função.
b) A temperatura do corpo humano não febril é de 37° C. Qual é esta temperatura em graus Fahrenheit?
c) A que temperatura, em graus Celsius, corresponde 20° F.

[editar] Bibliografia

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Rui. Matemática Fundamental, 2º grau. Volume Único. São Paulo: FTD, 1994.

[editar] Site Consultado

http://si.uniminas.br/~katia/Lista1_cal_2007_2.pdf

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