Função do Segundo Grau

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Tabela de conteúdo

[editar] Definição

Chama-se função polinomial do 2º grau (ou função quadrática), a toda função f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por:

f \left( x \right) = ax^2 + bx + c, \, a \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R}, c \in \mathbb{R}

[editar] Como obter o gráfico de uma função quadrática

Antes de generalizarmos a construção do gráfico de uma função quadrática. Vejamos alguns exemplos:

1. Construir o gráfico da função f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f \left( x \right) = x^2-2x-3.

Primeiramente, vamos construir uma tabela atribuindo alguns valores de x, e calculando sua imagem f(x) correspondente.

x f(x) = x2 − 2x − 3
-2 f( − 2) = ( − 2)2 − 2( − 2) − 3 = 5
-1 f( − 1) = ( − 1)2 − 2( − 1) − 3 = 0
0 f(0) = (0)2 − 2(0) − 3 = − 3
1 f(1) = (1)2 − 2(1) − 3 = − 4
2 f(2) = (2)2 − 2(2) − 3 = − 3
3 f(3) = (3)2 − 2(3) − 3 = 0
4 f(4) = (4)2 − 2(4) − 3 = 5


Gráfico de f:

FunçãoSeg1.jpg

2. Construir o gráfico da função f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f \left( x \right) = -x^2+2x+3.

Analogamente ao exercício 1, temos:

x f(x) = − x2 + 2x + 3
-2 f( − 2) = − ( − 2)2 + 2( − 2) + 3 = − 5
-1 f( − 1) = − ( − 1)2 + 2( − 1) + 3 = 0
0 f(0) = − (0)2 + 2(0) + 3 = 3
1 f(1) = − (1)2 + 2(1) + 3 = 4
2 f(2) = − (2)2 + 2(2) + 3 = 3
3 f(3) = − (3)2 + 2(3) + 3 = 0
4 f(4) = − (4)2 + 2(4) + 3 = − 5


Gráfico de f:

FunçãoSeg2.jpg



3. Construir o gráfico da função f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f \left( x \right) = x^2-4x+4.

x f(x) = x2 − 4x + 4
-1 f( − 1) = ( − 1)2 − 4( − 1) + 4 = 9
0 f(0) = (0)2 − 4(0) + 4 = 4
1 f(1) = (1)2 − 4(1) + 4 = 1
2 f(2) = (2)2 − 4(2) + 4 = 0
3 f(3) = (3)2 − 4(3) + 4 = 1


Gráfico de f:

FunçãoSeg3.jpg



4. Construir o gráfico da função f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f \left( x \right) = -x^2+2x-3.

x f(x) = − x2 + 2x − 3
-1 f( − 1) = − ( − 1)2 + 2( − 1) − 3 = − 6
0 f(0) = − (0)2 + 2(0) − 3 = − 3
1 f(1) = − (1)2 + 2(1) − 3 = − 2
2 f(2) = − (2)2 + 2(2) − 3 = − 3
3 f(3) = − (3)2 + 2(3) − 3 = − 6


Gráfico de f:

FunçãoSeg4.jpg



Observamos então que:

a) O gráfico de f(x) = ax2 + bx + c é sempre uma parábola;
b) Se a 0, a parábola é “boca para cima” (concavidade voltada para cima);
c) Se a 0, a parábola é “boca para baixo” (concavidade voltada para baixo);
d) Se \Delta = \sqrt{b^2-4ac} > 0 então f admite duas raízes reais distintas, logo, a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos;
e) Se \Delta = \sqrt{b^2-4ac} < 0 então f não admite raízes reais, logo, a parábola não intercepta o eixo Ox ;
f) Se \Delta = \sqrt{b^2-4ac} = 0 então f admite uma raíz real, logo, a parábola tangencia o eixo Ox (toca o eixo Ox em apenas 1 ponto);

Resumindo

Uma função polinomial de 2º grau tem como gráfico uma parábola que pode ser representada de seis maneiras diferentes:

FunçãoSeg5.jpg



[editar] Vértice de uma parábola

Existe uma fórmula que podemos usar para determinar diretamente as coordenadas do vértice de uma parábola:

FunçãoSeg6.jpg



V = \left \{ \frac{-b}{2a},\frac{-\Delta}{4a} \right \}

Observe que:

[editar] Exercícios

1. Esboce o gráfico das seguintes funções:

a) f(x) = x²-5x+6
b) f(x) = x²-4x+5
c) f(x) = x²-4x+4
d) f(x) = -x²+x+2
e) f(x) = -x²+6x-9
f) f(x) = -x²+2x+3

2. Verifique se as seguintes funções admitem valor máximo ou mínimo e calcule esse ponto.

a) f(x) = -3x²+2x
b) f(x) = 2x² - 3x – 2
c) f(x) = -4x²+4x-1

3. Determine o valor de K para que a função f(x) = (2-k)x²-5x+3 admita um valor máximo.

4. Determine o valor de m para que a função f(x) = (4m+1)x²-x+6 admita valor mínimo.

5. Para que valores reais de k a função f(x) = kx²-6x+1 admite valores reais e diferentes?

6. Determine para que valores reais de k a função f(x) = (k-1)x²-2x+4 não admite valores reais.

7. Determine que valores de m a função f(x) = (m-2)x²-2x+6 admite raízes reais.

8. (Univali - SC) Os valores de m para os quais as raízes da função y = -x²-mx-4 sejam reais e diferentes pertencem ao intervalo:

a) (-2,2)
b) [-2,2]
c) [-4,4]
d) lR – [-4,4]
e) (4,∞)

9. (UFOP - MG) Em relação ao gráfico da função f(x) = -x²+4x-3, pode-se afirmar: a) É uma parábola de concavidade voltada para cima.
b) Seu vértice é o ponto V(2,1).
c) Intersecta o eixo das abscissas em P(-3,0) e Q(3,0).
d) O seu eixo de simetria é o eixo das ordenadas.
e) N.d.a.

10. (Vunesp - SP) O gráfico da função quadrática definida por f(x) = x²-mx+(m-1), em que m є lR, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa a x=2 é: a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2

11. Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja h= -t²+4t+6. Determine:
a) O instante em que a bola atinge a sua altura máxima;
b) A altura máxima atingida pela bola;
c) Quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo.

[editar] Respostas dos Exercícios

2) a. máximo = 1/3 b. mínimo = -25/8 c. máximo = 0
3) k > 2
4) m > -1/4
5) k < 9
6) k > 5/4
7) m ≤ 13/6
8) d
9) b
10) d
11) Deve ser um quadrado de 20 cm. de lado
12) a.25s b. 10m c. 5min e 10s

[editar] Referências

1. Matemática – Contextos e Aplicações; Volume Único; Luiz Roberto Dante; Editora: Ática

2. Álgebra I – Coleção Objetivo; Giuseppe Nobilioni; Editora Sol

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