Inequação Produto e Inequação Quociente

De Cadernoteca Livre

Ir para: navegação, pesquisa

A CADERNOTECA FOI TRANSFERIDA PARA O ENDEREÇO
cadernoteca.polignu.org

Visite a página que você estava procurando usando o link:
http://cadernoteca.polignu.org/wiki/Inequa%C3%A7%C3%A3o_Produto_e_Inequa%C3%A7%C3%A3o_Quociente







Voltar para Álgebra.

Tabela de conteúdo

[editar] Estudo do sinal em inequações produto e inequações quociente

Agora que você conhece as funções e inequações de segundo grau, os seus gráficos, o estudo do sinal de cada uma, podemos partir para um estudo de inequações aparentemente mais complicadas, mas cuja resolução envolve a combinação dos conceitos vistos até aqui. Os exercícios de inequação produto e inequação quociente, desta forma, envolvem num mesmo exercício: o estudo do sinal de uma função do primeiro grau, o estudo do sinal de uma função do segundo grau e o conhecimento da “regra dos sinais”.

Regra dos Sinais
Multiplicação ou Divisão de... Resultado
Um número positivo por outro número positivo. Um número positivo.
Um número negativo por outro número negativo. Um número positivo.
Um número positivo por um número negativo ou vice-versa. Um número negativo.


Esse assunto não tem, em geral, uma incidência direta e constante nos vestibulares, mas é fundamental para desenvolver o raciocínio lógico e estimulá-lo na resolução de problemas reais, como mostra o exemplo.


(FGV – SP adaptado) O lucro de uma empresa é dado por: L(x) = 10.(10 – x).(x – 2).(20 – x) , onde x é a quantidade vendida. Calcular as quantidades de x que podem ser vendidas de modo que a empresa não tenha prejuízo.

Para resolver este problema, note que:



Porém, podemos ver que L(x) é um produto (uma multiplicação) de 4 funções:


Podemos escrever então, que L \left( x \right) = f_1 \left( x \right)*f_2 \left( x \right)*f_3 \left( x \right)*f_4 \left( x \right) e que temos que resolver a inequação f_1 \left( x \right)*f_2 \left( x \right)*f_3 \left( x \right)*f_4 \left( x \right) \ge 0. Essa forma caracteriza uma inequação quociente.

[editar] Definição

Inequação produto é toda desigualdade que pode ser escrita nas formas abaixo:


Inequação quociente é toda desigualdade que pode ser escrita nas formas abaixo:


Exemplos:

[editar] Resolução de inequações quociente/produto

O modo de se resolver as inequações quociente e produto é o mesmo, já que a “regra dos sinais” na multiplicação é a mesma aplicada na divisão. Tal modo pode ser descrito assim:

Exemplo 1

Vamos resolver a inequação(x-3)*(x+2) > 0 \,\!. Sabemos que ela é um produto das funções f \left( x \right) = x - 3 e g \left( x \right) = x + 2. Vamos dar uma olhada no gráfico de cada uma dessas funções:

Gráfico de f \left( x \right) = x - 3:

Ineqprodquo1.jpg


Desse gráfico nota-se:


Baseado nisso, simplificamos o gráfico e o desenhamos nesta forma (estudo do sinal da função):

Ineqprodquo2.jpg


Se você entende o que significa este gráfico (mesmo das aulas anteriores), você não terá dificuldades em entender o resto desse assunto.

Gráfico de g \left( x \right) = x + 2:

Ineqprodquo3.jpg


Notar que:

Gráfico para estudo de sinal:

Ineqprodquo4.jpg


Vamos comparar os gráficos de sinal para as duas funções dessa forma:

Ineqprodquo5.jpg


Entender esse gráfico é a parte mais importante da aula (o gráfico apenas apresenta todas as informações de antes em um desenho só). Ele diz que:


De posse dessas informações, montamos o estudo do sinal para a função f \left( x \right) * g \left( x \right) = (x+3)*(x-2).

Ineqprodquo6.jpg

E a partir daí resolvemos a inequação (x + 3) * (x − 2) > 0.

“( x – 3).(x + 2) é maior que zero se x pertencer ao conjunto dos números reais, contanto que ele seja menor que -2 ou seja maior que 3.”


Com maior rapidez, considerando que já é sabido o estudo do sinal de funções do primeiro e segundo grau, vamos resolver mais alguns exemplos:

Exemplo 2

Vamos resolver \frac{x^2-x+2}{x+4} \le 0.

Estudo do sinal de f \left( x \right) = x^2 - x + 2:

Ineqprodquo7.jpg



Estudo do sinal de g \left( x \right) = x + 4:

Ineqprodquo8.jpg

Comparação entre f(x) e g(x):

Ineqprodquo11.jpg


Essa comparação é feita mais facilmente fazendo-se o estudo do sinal das funções em um quadro, conforme a seguir:

Ineqprodquo9.jpg


Note que, neste caso, x não pode ser igual a -4, pois o denominador g(x) ficaria igual a zero, o que não é permitido nos números reais.



Os intervalos que satisfazem a inequação são: \left] - \infty; 4 \right] ou \left[ - 1; 2 \right].

Exemplo 3 (Resolução do problema do lucro)

Temos a inequação f_1 \left( x \right)*f_2 \left( x \right)*f_3 \left( x \right)*f_4 \left( x \right) \ge 0, que, substituindo, fica 10*(10 - x)*(x - 2)*(20-x) \ge 0.

Colocamos o quadro de resolução diretamente (verificar se está certo mesmo!):

Ineqprodquo10.jpg


Então vemos que:

Logo, os intervalos que satisfazem a inequação são: \left[ 2; 10 \right] ou \left[ 20; + \infty \right].

[editar] Os vários tipos de resposta para uma inequação

A solução de uma inequação é um conjunto. No caso de uma inequação quociente, a solução geralmente é uma união de alguns subconjuntos de \mathbb{R} formando um conjunto solução.

Resposta para o exemplo 1

A solução de \left( x-3 \right)*\left( x+2 \right) > 0 é o conjunto dos x que pertencem a (conjunto dos números reais) que são menores que -2 e também o conjunto dos que são maiores que 3. Em linguagem matemática, isso pode ser escrito assim (é muito importante que você entenda isso):

S = \left \{ x \in \mathbb{R}| x > -2 \lor x > 3 \right \}


Note que o símbolo “|” significa “contanto” e que o símbolo  \lor significa “ou”.


Uma outra forma de responder a questão seria dizer que a solução de \left( x-3 \right)*\left( x+2 \right) > 0 é a união dos intervalos \left[ - \infty ; -2 \right] e \left[ +3 ; + \infty \right] certo? Em linguagem matemática, isso seria:

S = \left \{ x \in \left[ - \infty ; -2 \right] \cup \left[ +3 ; + \infty \right] \right \}



Note a presença do símbolo união “\cup”.

Uma terceira forma de resposta ainda, seria dizer que a solução de math>\left( x-3 \right)*\left( x+2 \right) > 0 </math> pode ser qualquer número do conjunto dos números reais menos aqueles que estão entre -2 e 3 (que é aquela região onde (x - 3).(x + 2) é negativo), ou seja, que estão no intervalo \left[ - 2 ; 3 \right]. Em linguagem matemática:

S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x \not\in \left[ -2 ; 3 \right] \right \}



Da mesma forma, são fornecidas as respostas que serviriam para os outros exemplos.

Respostas para o exemplo 2

a) S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x < -4 \lor -1 \le x \le 2 \right \}
b) S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x \in \left[ - \infty ; -4 \right] \cup \left[ - 1 ; 2 \right] \right \}

Respostas para o exemplo 3

a) S = \left \{ x \in \mathbb{R} | 2 \le x \le 10 \lor x \ge 20 \right \}
b) S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x \in \left[ 2 ; 10 \right] \cup \left[ 20 ; + \infty \right] \right \}

[editar] Exercícios

1. (FGV – SP adaptado) Qual a solução da inequação \frac{x}{x+1}-\frac{x}{x-1} \ge 0?

2. (FEI – SP adaptado) Qual o conjunto solução da inequação \frac{2x+1}{x-3} \ge 1?

3. (FEI – SP adaptado) Qual o domínio da função f \left( x \right) = \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}?

4. (Fatec – SP adaptado) Qual o domínio da função f \left( x \right) = \sqrt{\frac{2x-1}{x-2}}?

5. (FCC – SP adaptado) Qual a solução da inequação \frac{-2x^2+3x+2}{x-2} \le 0?

6. (Cescem – SP adaptado) Qual a solução da inequação \left( x^2-2x+8 \right)*\left( x^2-5x+6 \right)*\left( x^2-16 \right) < 0?

7. (FGV – SP adaptado) Qual a solução da inequação \frac{x-3}{x-2} \le x-1?

8. (UFV – MG adaptado) Qual a solução da inequação \frac{x^2-6x+5}{\left( x+1 \right)*\left( x^2-7x+10 \right)} \ge 0?

9. (Cescem – SP adaptado) Qual a solução do sistema \left \{ \begin{matrix} 2x^2-16 \ge x^2 \\ x+2>0 \end{matrix} \right. ?

[editar] Respostas dos Exercícios

1. S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x < -1 \lor 0 \le x < 1 \right \}
2. S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x \le -4 \lor x > 3 \right \}
3. S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x < -1 \lor x \ge 1 \right \}
4. S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x \le \frac{1}{2} \lor x > 2 \right \}
5. S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x \le -\frac{1}{2} \lor x \ne 2 \right \}
6. S = \left \{ x \in \mathbb{R} | -4 < x < 2 \lor 3 < x < 4 \right \}
7. S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x < 2 \right \}
8. S = \left \{ x \in \mathbb{R} | -1 < x < 1 \lor 2 < x < 5 \lor x > 5 \right \}
9. S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x \le -4 \right \}

[editar] Bibliografia

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Rui. Matemática Fundamental, 2º grau. Volume Único. São Paulo: FTD, 1994.

Ferramentas pessoais
Espaços nominais
Variantes
Visualizações
Ações
Navegação
Ferramentas