Inequação do Primeiro Grau

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Tabela de conteúdo

[editar] Inequação do Primeiro Grau

Observe o seguinte problema:

Dois táxis têm preços dados por:

a) Obtenha a expressão que fornece o preço de cada táxi (PA e PB) em função da distância percorrida.

b) Para que distâncias é vantajoso tomar cada táxi?

Se você aprendeu a lição anterior, vai saber resolver o item a. Para resolver o item b, daí sim, recorremos as inequações do primeiro grau.

[editar] Definição

Inequação do primeiro grau é qualquer desigualdade que pode ser expressa de umas das formas abaixo:

f \left( x \right) > 0
f \left( x \right) \ge 0
f \left( x \right) < 0
f \left( x \right) \le 0


Sendo f(x) = ax + b;

Note, que o lado esquerdo da equação do primeiro grau é uma função do primeiro grau, cujo valor depende de x.

[editar] Resolvendo uma Inequação do Primeiro Grau

Observe o exemplo:

Ex: Resolva a inequação 4x - 2 \ge 0

Antes de resolvermos a inequação algebricamente, vamos dar uma olhada no gráfico da função f(x) = 4x – 2:

Inequação1.jpg


Repare que a raiz dessa função é x = \frac{1}{2}. Logo, o ponto \left( \frac{1}{2}, 0 \right) faz parte do gráfico dessa função. Agora vem a parte mais importante. Note que:


Ou seja, se o exercício nos pede para resolver 4x – 2 > 0, nossa reposta deve ser:

Obs: S é a letra que utilizamos para representar o conjunto – solução. A resposta 4 é a mais utilizada.

Mas será que sempre precisaremos fazer o gráfico da função f(x) para resolver a inequação?
Resposta: Não.

Utilizamos o gráfico apenas para que ficasse mais clara a relação entre inequação e função do primeiro grau. Resolvemos uma inequação do primeiro grau da mesma forma que resolvemos uma equação do primeiro grau.

Ex: resolva a equação 4x – 2 > 0;

4x-2>0 \,\!

4x>2 \,\!

x>\frac{2}{4} \Rightarrow x>\frac{1}{2} \,\!



Resposta: S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x > \frac{1}{2} \right \}

Ex: resolva a inequação \frac{4}{3}x - \frac{1}{2} < 0.

Observe os dois modos de resolução:

Modo de resolução 1

\frac{4}{3}x - \frac{1}{2} < 0

\frac{8x - 3}{6} < 0

 8x - 3 < 0*6 \,\!

 8x - 3 < 0 \,\!

 8x < 3 \,\!

 x < \frac{3}{8}



Modo de resolução 2

\frac{4}{3}x - \frac{1}{2} < 0

\frac{4}{3}x < \frac{1}{2}

 4x < \frac{1}{2}*3

 4x < \frac{3}{2}

 x < \frac{\frac{3}{2}}{4}

 x < \frac{3}{2}*\frac{1}{4}

 x < \frac{3}{8}



Resposta: S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x < \frac{3}{8} \right \}

.

Ex: Resolva a inequação 1 – 4x > 0.

 1 – 4x > 0 \,\!

 1 > 4x \,\!

 \frac{1}{4} > x

 x < \frac{1}{4}



Resposta: S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x < \frac{1}{4} \right \}
.

Neste exemplo, como o x tem que estar positivo na última linha da inequação, ficou mais fácil isolar o x no segundo membro e inverter a equação no final.

Ex: resolva a inequação 1 – 2x > 4 + x:

 1 – 2x > 4 + x \,\!

 1 - 2x - 4 - x > 0 \,\!

 - 3x - 3 > 0 \,\!

 - 3 > 3x  \,\!

 \frac{- 3}{3} > x  \,\!

 -1 > x  \,\!

 x < -1  \,\!



Resposta: S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x < -1 \right \}
.

Perceba que, neste exemplo, a inequação do primeiro grau estava um pouco disfarçada, de forma que precisamos manipular um pouco para chegarmos à forma conhecida de inequação do primeiro grau (neste caso, na quarta linha da resolução, a = -3 e b = -3, o que nos leva a concluir que f(x) = -3 – 3x).

Note também outra coisa: Se existirem duas funções g(x) = 1 – 2x e h(x) = 4 + x, os gráficos das mesmas e suas tabelas serão dados por:

Inequação2.jpg



x g(x)
-3 7
-2 5
-1 3
0 1
1 -1
2 -3
3 -5


x h(x)
-3 1
-2 2
-1 3
0 4
1 5
2 6
3 7


Note, pela tabela, que, nas duas funções, quando x = -1, g(x) = 3 e h(x) = 3, ou seja, g(-1) = h(-1) = 3. Note também que:

Tente concordar com isso olhando o seguinte gráfico com as duas funções. Note que estamos comparando duas funções do primeiro grau:

Inequação3.jpg



[editar] Resolução do Problema Proposto

Vamos voltar ao problema proposto no ínicio:

a) O preço de cada táxi é uma função da distância percorrida. No caso do táxi A, essa função é dada por:

Chamando o preço do táxi de P e a quilometragem rodada de q, teremos:

b) Em qual situação o preço cobrado pelo táxi A é igual ao preço cobrado pelo táxi B?

Se fizermos PA = PB, teremos:

 PA=PB \,\!

 4+0,75*q = 3+0,9*q \,\!

 0,75*q - 0,9*q = 3 - 4 \,\!

 0,75*q - 0,9*q = 3 - 4 \,\!

 - 0,15*q = - 1 \,\!

 q = \frac{- 1}{-0,15} \,\!

 q = 6,666... \,\!



De fato, se uma pessoa fizer uma corrida de 6,66 Km, o táxi A cobrará:

PA = 4 + 0,75*(6,66) = R$ 9,00 \,\!



E o táxi B cobrará:

PB = 3 + 0,9*(6,66) = R$ 9,00 \,\!



Em qual situação o preço cobrado no táxi A é maior do que o cobrado no táxi B?

Vamos fazer PA > PB.

 PA>PB \,\!

 4+0,75*q > 3+0,9*q \,\!

 0,75*q - 0,9*q > 3 - 4 \,\!

 0,75*q - 0,9*q > 3 - 4 \,\!

 - 0,15*q > - 1 \,\!

 0 > - 1 + 0,15*q \,\!

 1 > 0,15*q \,\!

 \frac{1}{0,15} > q \,\!

 6,666... > q \,\!

 q < 6,666... \,\!



Essa resposta quer dizer, para qualquer quilometragem abaixo de 6,66 Km (q <6,66), então PA > PB, ou seja, o preço do táxi A será maior do que o do táxi B.

Se fizermos PA < PB, veremos que, para qualquer quilometragem acima de 6,66 Km (q >6,66), teremos PA < PB, ou seja, o preço do táxi A será menor do que o do táxi B.

Então a resposta do ítem b seria:

Resposta: Se a distância a ser percorrida for menor que 6,66 Km, é mais vantajoso tomar o táxi B, pois é mais barato. Se a distância a ser percorrida for maior que 6,66 Km, é mais vantajoso tomar o táxi A.

Como exercício, você pode fazer o gráfico do preço cobrado pelos dois táxis e compará-los diretamente no gráfico.

[editar] Exercícios

1) Fazer o gráfico das funções:


A partir do gráfico, responder:

2) Obtenha a lei das funções de 1º grau que passam pelos pares de pontos abaixo:

a) (-1, 2) e (2, -1)
b) (-1, 0) e (3, 2)
c) (3,2) e (-1,0)

3) Determine a equação da reta cujo gráfico está representado abaixo:

Inequação4.jpg



4) Determine a lei da função do 1º grau cujo gráfico passa pelo ponto (2, 3) e cujo coeficiente linear vale 5.

5) Dada a função y = 3x – 2, encontre o valores de x em que a ordenda y é o seu dobro.

6) Dada a função y = –2x + 1, encontre os interceptos (pontos em que a função intercepta o eixo x e o eixo y).

7) Dada a função y = \frac{2}{3}x + 10.Encontre os interceptos (pontos em que a função intercepta o eixo x e o eixo y).

8) Determine a equação da reta que passa por (1,5) e tem coeficiente angular = 20.

9) Seja a reta dada por y = -3x + b. Determine o valor de b para que a reta corte o eixo as ordenadas no ponto (0,5).

10) Dadas as funções f (x) = x + 2 e g(x) = x − 4, encontre os valores de x para os quais g(x) = f(x).

11) Para cada um das retas abaixo, responda:

a) y = 8x + 2 \,\!
b) y = -0,3x + 9 \,\!
c) \frac{y-3}{x-1} = 5 \,\!

11) Resolva as inequações:

a)  3x - 4 \le x + 5 \,\!
b)  x + \frac{1}{2} \ge x + \frac{3}{2} \,\!


12) Determinar a lei da função do 1º grau que passa pelo ponto (-2, 1) e cujo coeficiente angular é -4.

13) Dadas as funções f \left( x \right) = - x + \frac{1}{2} e g \left( x \right) = 2x - 4 , calcule os valores de x para os quais g(x) < f(x).

15) Determine a lei da função do 1º grau que passa pelos pares de pontos abaixo:

a) (0, 1) e (1, 4)
b) (-1, 2) e (1, -1)

16) De modo geral , a lei que rege as transações comerciais é dada por:

V = C + L



Onde:

Para produzir um objeto, uma firma gasta R$ 1,20 por unidade produzida. Além disso, há uma despesa fixa de R$ 4.000,00 independentemente da quantidade produzida. O preço de venda é de R$ 2,00 por unidade. Qual é o número mínimo de unidades a partir do qual a firma começa a ter lucro?

[editar] Referências

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Rui. Matemática Fundamental, 2º grau. Volume Único. São Paulo: FTD, 1994.

[editar] Exercícios retirados do site

http://si.uniminas.br/~katia/Lista1_cal_2007_2.pdf

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