Inequação do Segundo Grau

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Tabela de conteúdo

[editar] Definição

Chama-se inequação do 2º grau toda sentença dos tipos:


Com a \in \mathbb{R} e a # 0, b \in \mathbb{R} e c \in \mathbb{R}.

[editar] Como resolver uma Inequação do Segundo Grau

Vamos definir o passo a passo através de um exemplo:

1. Resolva x^2-3x+2 \le 0.

Resolver essa inequação significa encontrar um conjunto de valores x, para o qual a função f \left( x \right) = x^2-3x+2 seja negativa ou zero. Vamos esboçar o gráfico dessa função (Você já aprendeu a fazer isso na aula passada):

Inequaçãoseg1.jpg

Observando o gráfico, fica fácil perceber que f(x) assume valores negativos quando x está entre 1 e 2, logo:

Conjunto Solução: S = \left \{ x \in \mathbb{R}| 1 \le x \le 2 \right \}.

Em resumo,

I. Resolver uma inequação do tipo ax^2+ bx + c > 0 (a \ne 0) é determinar o conjunto dos valores de x que deixam o gráfico de f \left( x \right)= ax^2+ bx + c acima do eixo Ox.

II. Resolver uma inequação do tipo ax^2+ bx + c < 0 (a \ne 0) é determinar o conjunto dos valores de x que deixam o gráfico de f \left( x \right)= ax^2+ bx + c abaixo do eixo Ox.

[editar] Exercício Resolvido

Vamos resolver a seguinte inequação:  -8 \le x^2-2x-8 \le 0.


Então, queremos que: \left \{ \begin{matrix} -8 \le x^2-2x-8 \\ x^2-2x-8 \le 0 \end{matrix} \right.


\left \{ \begin{matrix} -8 \le x^2-2x-8 \\ x^2-2x-8 \le 0 \end{matrix} \right. \Rightarrow \left \{ \begin{matrix} 0 \le x^2-2x-8+8 \\ x^2-2x-8 \le 0 \end{matrix} \right. \Rightarrow \left \{ \begin{matrix} 0 \le x^2-2x \\ x^2-2x-8 \le 0 \end{matrix} \right. \Rightarrow \left \{ \begin{matrix} x^2-2x \ge 0 & \left(1 \right)\\ x^2-2x-8 \le 0 & \left(2 \right)\end{matrix} \right.


Resolvendo (2): x^2-2x-8 \le 0, obtemos que: a = 1 > 0 \,\!; \Delta = 36 > 0 \,\!; x_1 = 4 \,\! e x_2 = -2 \,\!.

Inequaçãoseg2.jpg


Resolvendo (1): x^2-2x \ge 0, obtemos que: a = 1 > 0 \,\!; \Delta = 4 > 0 \,\!; x_1 = 2 \,\! e x_2 = 0 \,\!.

Inequaçãoseg3.jpg


Como temos duas soluções que devem ser satisfeitas simultâneamente, vamos calcular a intersecção S = S_1 \cap S_2:

Inequaçãoseg4.jpg


Portanto, S = \left \{ x \in \mathbb{R} | -2 \le x \le 0 \,\, ou \,\, 2 \le x \le 4 \right \}.

[editar] Exercícios

1) Resolva as seguintes equações:

a) 3x^2-10x+7 < 0 \,\!
b) -2x^2-x+1 \le 0
c) x^2-5x+10 < 0 \,\!
d) -4x^2+9 \ge 0
e) 3x^2+x+1 > 0 \,\!
f) x^2-4x \ge 0

2) Determine a solução das seguintes inequações:

a) 2(x-1)^2 < x \,\!
b) 3(x^2-10) > 4x^2-34 \,\!
c) x(x-3)+1 > 5(x-3) \,\!

3) Resolva as seguintes inequações:

a) -6 < x^2-5x < 6 \,\!
b) 7 \le x^2+3 < 4x
c) 2 \le x^2-x \le 20-2x
d) 3 \le x^2-2x+8 < 8

[editar] Respostas dos Exercícios

1)

a) S = \left \{ x \in \mathbb{R} | 1 \le  x\le \frac{7}{3} \right \}
b) S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x \le -1 \,\, ou \,\, x \ge \frac{1}{2} \right \}
c) S = \varnothing
d) S = \left \{ x \in \mathbb{R} | -\frac{3}{2} \le x \le \frac{3}{2} \right \}
e) S = \mathbb{R}
f) S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x \le 0 \,\, ou \,\, x \ge 4 \right \}

2)

a) S = \left \{ x \in \mathbb{R} | \frac{1}{2} < x < 2 \right \}
b) S = \left \{ x \in \mathbb{R} | -2 < x < 2 \right \}
c) S = \mathbb{R}- \left \{ -4 \right \}

3)

a) S = \left \{ x \in \mathbb{R} | -1 < x < 2 \,\, ou \,\, 3 < x < 6 \right \}
b) S = \left \{ x \in \mathbb{R} | 2 \le x < 3 \right \}
c) S = \left \{ x \in \mathbb{R} | -5 \le x \le -1 \,\, ou \,\, 2 \le x \le 4 \right \}
d) S = \left \{ x \in \mathbb{R} | 0 < x < 2 \right \}

[editar] Referências

  1. Matemática – Contextos e Aplicações; Volume Único; Luiz Roberto Dante; Editora: Ática
  2. Álgebra I – Coleção Objetivo; Giuseppe Nobilioni; Editora Sol
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