Matemática Financeira

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Tabela de conteúdo

[editar] Porcentagem

A expressão “por cento” (indicada pelo símbolo %) participa constantemente do nosso cotidiano: quando lemos um jornal, quando assistimos televisão ou mesmo quando ouvimos rádio.

Quando um número vem escrito em percentual, fica mais fácil analisar de uma forma ampla algumas situações, por exemplo: “60% (sessenta por cento) dos paulistas já sofreram com enchentes.”

Ou seja, a cada 100 paulistas, 60 já sofreram com as enchentes.

Sendo assim, não importa qual é o tamanho real da população da cidade de São Paulo, a porcentagem já nos deu uma informação que nos proporciona uma visão geral do que acontece a cada 100 paulistas.

Veja outros exemplos:

a) “30% dos jovens praticam esportes.” – significa que em um grupo de 100 jovens, 30 praticam esportes.

b) “95% dos homens são viciados em futebol.” – significa que em um grupo de 100 homens, 95 são viciados em vídeo-game.

Sendo assim, a porcentagem é a forma usada para indicar uma fração de denominador 100.

Veja alguns exemplos e seus significados:

a) 50% é o mesmo que \frac{50}{100} ou 0,5 escrito na forma de porcentagem.

b) 4% é o mesmo que \frac{4}{100} ou 0,04 escrito na forma de porcentagem.

c) 0,15 é o mesmo que \frac{15}{100}.

d) 6 pessoas em um grupo de 10 correspondem a \frac{6}{10} ou \frac{60}{100} ou 60% do grupo.

Vamos primeiro efetuar a divisão: 32 ÷ 64 = 0,5. Como já vimos, 0,5 é o mesmo que 0,50; que, por sua vez é o mesmo que \frac{50}{100} e, por fim, \frac{50}{100} = 50%.

Logo, \frac{32}{64} em porcentagem, corresponde a 50%.

[editar] Porcentagem de uma Quantia

A melhor forma de explicar como se calcula a porcentagem de uma quantia, é através de exemplos:

a) Qual é o valor de 80% de 50?

Modo 1: 80% de 50 = ?

\frac{80}{100}.50 = \frac{80.50}{100} = 40



(Dividimos 50 por 100 e pegamos 80 partes)

Modo 2: Regra de Três:

50 corresponde ao total, ou seja, a 100%. Queremos saber qual valor que corresponde a 80%.

\begin{matrix} PORCENTAGEM & \, & VALOR \\ 100% & \rightarrow & 50 \\ 80% & \rightarrow & x \end{matrix}

100.x = 50.80 \Rightarrow x = \frac{50.80}{100} = 40


v

Resposta: 80% de 50 = 40.

b) 25% de quanto dá 40?

Modo 1: 25% de ? = 40

\frac{25}{100}.x = 40 \Rightarrow x = \frac{40.100}{25} = 160



Modo 2: Regra de Três:

Queremos saber qual é o valor que corresponde a 100%, sendo que 25% corresponde a 40.

\begin{matrix} PORCENTAGEM & \, & VALOR \\ 25% & \rightarrow & 40 \\ 100% & \rightarrow & x \end{matrix}

25.x = 40.100 \Rightarrow x = \frac{40.100}{25} = 160



Resposta: 25% de 160 = 40.

c) R$ 72,00 corresponde a quantos por cento de R$360,00?

Modo 1:  ?% de R$ 360,00 = R$ 72,00

\frac{x}{100}.360 = 72 \Rightarrow x = \frac{72.100}{360} = 20



Modo 2: Regra de Três

Sabemos que R$360,00 corresponde ao total, ou seja, a 100%. Queremos saber quantos por cento correspondem a R$ 72,00.

\begin{matrix} PORCENTAGEM & \, & VALOR \\ 100% & \rightarrow & 360 \\ x% & \rightarrow & 72 \end{matrix}

 x.360 = 72.100 \Rightarrow x = \frac{72.100}{360} = 20



Resp: R$72,00 corresponde a 20% de R$360,00.

A partir desses exemplos dados, podemos resolver vários problemas que envolvem porcentagem. Por exemplo:

1) Se um vestido que custa R$250,00 está sendo vendido com um desconto de 6%. Qual será o novo preço do vestido?

Vamos primeiro calcular 6% de R$250,00 : \frac{6}{100}.250 = 15.

Sendo assim, o desconto será de R$15,00. Então o novo preço do vestido será: R$250,00 – R$15,00 = R$235,00.

2) Um fogão, cujo preço à vista é de R$800,00, tem um acréscimo de 5% no seu preço se for pago em 3 prestações iguais. Qual é o valor de cada prestação?

Vamos primeiro calcular 5% de R$800,00: \frac{5}{100}.800 = 40. O acréscimo será de R$ 40,00.

Sendo assim, o novo preço do fogão a ser pago em três prestações será de: R$800,00 + R$40,00 = R$840,00.

Mas, o exercício pergunta qual é o valor de cada prestação: 840 ÷ 3 = 280.

Resposta: O valor de cada prestação será de R$280,00.

[editar] Exercícios

1. Calcule e responda:

a. Qual é o valor de 60% de 95?
b. Quanto por cento de 70 é igual a 56?
c. 6 são 15% de que numero?
d. R$ 75,20 correspondem a 20% de que quantia?

2. Um fogão está sendo vendido nas seguintes condições: 30% de entrada e o restante em 5 prestações iguais de R$ 58,80 cada uma. Qual é o preço desse fogão?

3. Um objeto que custava R$ 70,00 teve seu preço aumentado em R$ 10,50. De quanto por cento foi o aumento?

4. Uma mercadoria custava R$ 80,00 e seu preço foi reajustado (aumentado) em 5%. Se ao novo preço foi dado um desconto de 5% ela voltará a custar R$ 80,00? Calcule os preços após o aumento e o desconto.

5. O mesmo modelo de uma geladeira está sendo vendido em 2 lojas do seguinte modo:

• Na 1ª loja, sobre o preço de R$ 800,00 há um desconto de 8%;
• Na 2ª loja, sobre o preço de R$ 820,00, há um desconto de 10%.

Qual dessas ofertas é mais conveniente ao cliente?

6. Um comerciante comprou uma peça de tecido de 100m por R$ 800,00. Se ele vender 40m com lucro de 30%, 50m com lucro de 10% e 10m pelo preço de custo, quanto por cento de lucro ele teve na venda de toda a peça?

7. A quantia de R$ 1890,00 foi repartida entre 3 pessoas, da seguinte forma: Marta recebeu 80% da quantia de Luís e Sergio recebeu 90% da quantia da Marta. Quanto recebeu cada pessoa?

[editar] Gabarito

1.

a. 57
b.80%
c.40
d.R$ 376,00

2. R$ 420,00

3. 15%

4. Novo preço: R$ 84,00 ; Novo preço com desconto: R$ 79,80

5. A oferta da 1ª loja

6. 17%

7. Luis: R$ 750,00; Marta: R$ 600,00 e Sergio: R$ 540,00

[editar] Termos Importantes da Matemática Financeira

É comum, no dia-a-dia, ouvir frases como: uma pessoa aplicou uma certa quantia (capital) em uma poupança por um certo período (tempo).

Fazer uma aplicação é como emprestar dinheiro ao banco. Sendo assim, no final desse período, a pessoa recebe uma quantia (juros) como compensação. O valor dessa quantia é estabelecido por uma porcentagem (taxa de juros).

Ao final da aplicação, a pessoa terá um saldo correspondente a saldo + juros (montante).

[editar] Juros Simples

Denominamos juros simples aqueles que são calculados sempre a partir de um Capital Inicial.

Os juros simples são diretamente proporcionais ao capital e ao tempo de aplicação.

Para entender melhor, veja o exemplo:

Ex.1: O capital de R$ 530,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual o valor do montante após 5 meses?

Após 5 meses o montante será de R$ 609,50.

[editar] Juros Compostos

Consideremos o seguinte problema:

Um capital de R$ 40.000,00 foi aplicado à taxa de 2% ao mês, durante três meses. Qual foi o montante ao final de três meses?

Considerando o problema de juros simples, temos:

Observe como seria se considerássemos o problema de juros compostos:

Note que, no sistema de juros compostos, calculamos os juros ao final de cada período, até esgotar o tempo da aplicação.

Vamos então determinar um método prático de resolução:

[editar] Caso Geral

No sistema de juros compostos, o montante (M) produzido por um capital (C) aplicado à taxa i ao período no fim de t períodos é dado por:

M = C.(1+i).t \,\!



Além disso, o Capital (C) aplicado à taxa i ao período produz juros j tal que:

j = M – C \,\!

[editar] Exercícios

  1. Quanto rendeu a quantia de R$ 600,00, aplicada a juros simples, com a taxa de 2,5% ao mês, no final de 1 ano e três meses?

  2. Um capital de R$ 800,00, aplicado a juros simples copm uma taxa de 2% ao mês, resultou no montante de R$880,00 após certo tempo. Qual foi o tempo da aplicação?

  3. Uma dívida de R$ 750,00 foi paga 8 meses depois de contraída e os juros pagos foram de R$ 60,00. Sabendo que o calculo foi feito usando juros simples, qual foi a taxa de juros?

  4. Um capital aplicado a juros simples rendeu, à taxa de 25% ao ano, juros de R$ 110,00 depois de 24 meses. Qual foi esse capital?

  5. Se o capital de R$ 300,00 rende mensalmente R$ 12,00, qual é a taxa anual de juros, no sistema de juros simples?

  6. Se uma mercadoria cujo preço é R$ 200,00 for paga em 6 meses, com a taxa de 20% ao ano, quanto será pago de juros no sistema de juros simples?

  7. Qual será o montante produzido pelo capital de R$ 20000,00, aplicado a juros compostos, à taxa de 20% ao ano, durante 6 meses? (Lembre-se que t = 0,5)

  8. Aplicando certa quantia na poupança, a juros mensais de 1% durante 2 meses, os juros obtidos são de R$ 200,00 (o sistema é de juros compostos). Qual é essa quantia?

  9. Calcule o montante produzido por R$ 5000,00 aplicado à taxa de 6% ao bimestre, após um ano, no sistema de juros compostos.

  10. Uma pessoa deseja aplicar R$ 10000,00 a juros compostos e no final de 3 meses obter R$ 11248,64. Qual deve ser a taxa de juros?

  11. Após quanto tempo, à taxa de 4% ao mês, a aplicação de R$1000,00 renderá juros de R$ 170,00, no sistema de juros compostos?

  12. Em qual situação a aplicação de R$4000,00 terá maior rendimento e de quanto a mais:

    a) No sistema de juros simples, à taxa de 3% ao mês, durante 2 meses?
    b) No sistema de juros compostos, à taxa de 2% ao mês, durante 3 meses?

  13. (UFRJ) A fim de atrair a clientela, uma loja anunciou um desconto de 20% na compra à vista de qualquer mercadoria. No entanto, para não ter redução na margem de lucro, a loja reajustou previamente seus preços, de forma que, com o desconto, os preços retornassem aos seus valores iniciais. Determine a porcentagem do reajuste feito antes do desconto anunciado.

  14. (UFRJ) Para montar uma fábrica de sapatos, uma empresa faz um investimento inicial de R$120.000,00. Cada par de sapatos é vendido por R$30,00, com uma margem de lucro de 20%. A venda mensal é de 2.000 pares de sapato. Determine o número de meses necessários para que a empresa recupere o investimento inicial.

  15. (UFF) Na eleição para prefeito de um município concorrem candidatos X e Y. O resultado final revelou que 38% dos eleitores votaram em X, 42% em Y, 16% nulo e 4% em branco. Se 25% dos eleitores que votaram nulo, houvessem votado no candidato X e 50% dos que votaram em branco, houvessem votado em Y, o resultado seria:

    a) 47,5% para X, 44% para Y, 6,5% nulos e 2% em branco
    b) 9,5% para X, 63% para Y, 25,5% nulos e 3% em branco
    c) 46% para X, 43% para Y, 8% nulos e 2% em branco
    d) 42% para X, 44% para Y, 12% nulos e 2% em branco
    e) 6,2% para X, 18,8% para Y, 25% nulos e 50% em branco

  16. (UERJ) Uma empresa distribui 45 mil ações entre três de seus diretores. O primeiro recebeu 1/3 menos do que o segundo, que, por sua vez, recebeu 1/4 menos do que o terceiro diretor. Sabendo que este último recebeu 80% do que coube aos demais, o número de ações atribuídas ao primeiro foi:

    a) 8 mil
    b) 9 mil
    c) 10 mil
    d) 11 mil
    e) 12 mil

  17. (UERJ) Em um período em que os preços subiram 82%, os salários de certa categoria aumentaram apenas 30%. Para que os salários recuperem o poder de compra, eles devem ser aumentados em:

    a) 40%
    b) 46%
    c) 52%
    d) 58%
    e) 64%

  18. (UERJ) A pressão P e o volume V de um gás perfeito mantido a uma temperatura constante satisfazem a lei de Boyle PV = constante. Se aumentarmos a pressão em 25%, o volume do gás diminuirá de:

    a) 20%
    b) 25%
    c) 33%
    d) 45%
    e) 50%

  19. (UERJ) Está sendo proposta a criação de um imposto sobre transações financeiras de 0,3% sobre o valor de cada cheque. Se esse imposto for criado, quem descontar um cheque de R$ 250.000,00 receberá:

    a) R$ 242.250,00
    b) R$ 242.500,00
    c) R$ 247.500,00
    d) R$ 249.250,00
    e) R$ 249.925,00

  20. (UFF) Um certo produto podia ser comprado há alguns meses por 25% do seu valor atual. Assinale a alternativa que representa o percentual de aumento sofrido pelo produto neste mesmo período:

    a) 25%
    b) 75%
    c) 125%
    d) 150%
    e) 300%

  21. (UNI-RIO) Suponha que, em dois meses, um determinado título de capitalização teve seu valor reajustado em 38%. Sabendo-se que o reajuste no 1º mês foi de 15%, podemos afirmar que o reajuste no 2º mês foi de:

    a) 18,5%
    b) 19,5%
    c) 20%
    d) 21,5%
    e) 23%

  22. (UFF) Uma pessoa compra um automóvel com 20% de desconto em relação ao preço de tabela. Pouco depois anuncia o veículo com 210% de acréscimo em relação a esse mesmo preço de tabela. Vende o veículo concedendo 10% de desconto sobre o preço anunciado. Se a pessoa vendeu o automóvel por R$ 139.500,00 determine:

    a) Por quanto o veículo foi anunciado?
    b) Qual era o preço de tabela?
    c) Por quanto o veículo foi comprado?

  23. (UFF) Em um empréstimo por 3 meses, uma pessoa corrigiu o capital emprestado pela taxa inflacionária de 10% capitalizados mensalmente, e ainda obteve um lucro real de 30%. Se o empréstimo foi de R$ 1.000,00, determine o valor recebido no final do período.

  24. (UFRJ) Numa seção eleitoral, votaram no 2º turno 205 pessoas. O candidato eleito obteve 20 votos a mais do que seu concorrente. Foram registrados 41 votos nulos. Não houve votos em branco.

    a) Qual a porcentagem de votos válidos nessa seção?
    b) Quantos votos obteve o candidato vencedor?

  25. (UFRJ) João mora em Bonsucesso e trabalha em Botafogo. Diariamente vai de casa para o trabalho pelo mesmo percurso, com a mesma velocidade média. Num determinado dia, João aumentou em 60% a sua velocidade média. Em quanto reduziu o tempo de percurso neste dia?

  26. (UFF) Uma banda aceitou o convite para se apresentar numa festa beneficente, mas, impôs a seguinte condição: Iniciaria sua apresentação à hora combinada, desde que 50% das pessoas presentes na platéia houvesse ingressado gratuitamente. Pouco antes da hora marcada para o início do espetáculo, das 700 pessoas presentes na platéia, somente 30% haviam ingressado sem pagar. A partir desse momento, permitiu-se, apenas, o ingresso gratuito de pessoas até a exigência da banda ser atendida e, então, o acesso à platéia foi fechado. Nesse período, permitiu-se o ingresso gratuito de, exatamente:

    a) 140 pessoas
    b) 210 pessoas
    c) 280 pessoas
    d) 350 pessoas
    e) 700 pessoas

  27. (UFF) Em cada uma das duas urnas, U_1 e U_2 , há, apenas, bolas brancas e azuis. Sabe-se que 60% das bolas contidas em U_1 são brancas e que 50% das bolas contidas em U_2 são azuis. As duas urnas juntas contém 500 bolas, das quais 44% são azuis. Determine quantas bolas há em cada urna.

  28. (UERJ) O coquetel preferido de João tem 15% de álcool e é uma mistura de tequila e cerveja. No bar onde pediu que lhe preparassem esse coquetel, a tequila e a cerveja tinham, respectivamente, 40% e 5% de álcool. Calcule a razão entre os volumes de tequila e cerveja usados nessa mistura.

  29. (UERJ) Sabe-se que:

    \log 1,15 = 0,0607 \,\!

    \log 2,8 = 0,4472\,\!

    \log 3,65 = 0,5623\,\!

    \log 5 = 0,6990\,\!

    \log 5,35 = 0,7284\,\!


    Considerando que o preço de um cafezinho é, hoje, R$ 0,20, se ele sofrer um aumento mensal de 15%, daqui a doze meses passará a custar:

    a) R$ 0,56
    b) R$ 0,73
    c) R$ 0,84
    d) R$ 1,00
    e) R$ 1,07

  30. (UERJ) Uma loja tem os dois planos de venda: I - à vista com 30% de desconto; II - em duas parcelas iguais sem aumento de preço (a primeira paga no ato da compra e a segunda um mês após). A taxa de juros ao mês cobrada por essa loja no plano II é de:

    a) 15%
    b) 30%
    c) 60%
    d) 100%
    e) 150%

  31. (UFRJ) Uma loja oferece duas formas de pagamento para seus clientes: à vista ou em duas parcelas iguais. A loja anuncia, na sua vitrine, um vestido por um preço total de R$ 200,00 para o pagamento em duas vezes, sendo R$ 100,00 no ato da compra e R$ 100,00 trinta dias após essa data. Para pagamento à vista, a loja oferece um desconto de 10% sobre o preço total de R$ 200,00 anunciado na vitrine. Considerando o preço à vista como o preço real do vestido, determine a taxa de juros cobrada pela loja no pagamento em duas vezes.

  32. (UERJ) Sabe-se que log33 = 0,477 e que log10103 = 2,013. O tempo no qual triplicará uma população que cresce 3% ao ano é de, aproximadamente:

    a)37 anos
    b) 47 anos
    c) 57 anos
    d) 67 anos
    e) 77 anos

  33. (UERJ) Considere que certo país troca de moeda cada vez que a inflação acumulada atinge a cifra de 900%. A nova moeda vale sempre 1000 vezes a antiga. Com uma inflação de 25% mês, em quantos meses esse país trocará de moeda? (use log2 = 0,301)

  34. (UFF) Uma bomba de vácuo consegue, em cada sucção, retirar 2% do gás existente em um recipiente. Quantas sucções serão necessárias para retirar cerca de 99% do gás existente (use log2 = 0,30103 e log7 = 0,84510) no recipiente?

    a) 7
    b) 49
    c) 121
    d) 183
    e) 228

  35. (UFRJ) A rede de lojas Sistrepa vende por crediário com uma taxa de juros mensal de 10%. Uma certa mercadoria, cujo preço à vista é P, será vendida a prazo de acordo com o seguinte plano de pagamento: R$ 100,00 de entrada, uma prestação de R$ 240,00 a ser paga em 30 dias e outra de R$ 220,00 a ser paga em 60 dias. Determine P, o valor de venda à vista dessa mercadoria.

  36. (UFRJ) Devido à inflação, os habitantes de um certo país pagam hoje por um produto a mesma quantia com que compravam, há 2 anos e meio atrás, 17 unidades do mesmo produto. Qual foi, aproximadamente, a taxa média mensal de inflação durante esse período? Para resolver esse problema, pode ser útil a seguinte tabela de logaritmos decimais:

     \log 1,1  = 0,041 \,\!

     \log 1,2  = 0,079 \,\!

     \log 1,3  = 0,114 \,\!

     \log 1,4  = 0,146 \,\!

     \log 1,5  = 0,176 \,\!

     \log 1,6  = 0,204 \,\!

     \log 1,7  = 0,230 \,\!

     \log 1,8  = 0,255 \,\!

     \log 1,9  = 0,278 \,\!

  37. (UFRJ) As faculdades A e B oferecem somente cursos de Medicina e Engenharia. A tabela a seguir apresenta as percentagens dos alunos que concluíram seus cursos em 1995, distribuídos segundo sua faculdade e seu curso.

Medicina Engenharia
Fac A 40% 60%
Fac B 30% 70%


Sabe-se que esses alunos estão atualmente empregados ou desempregados, de acordo com os índices abaixo:

Empregado Desempregado
Medicina 70% 30%
Engenharia 20% 80%


A tabela abaixo deve apresentar as percentagens dos alunos que concluíram seus cursos em 1995, porém distribuídos por faculdade e situação ocupacional (empregado/ desempregado).

Empregado Desempregado
Fac A X Y
Fac B Z W


Determine o valor de W.

[editar] Gabarito

  1. R$ 225,00

  2. 5 meses

  3. 1% ao mês

  4. R$ 220,00

  5. 48%

  6. R$ 20,00

  7. R$ 21908,90

  8. R$ 9950,25

  9. R$ 7092,59

  10. 4%

  11. 4 meses

  12. No sistema de juros compostos

  13. 25%

  14. 65%

  15. 12 meses

  16. D

  17. C

  18. A

  19. A

  20. D

  21. E

  22. C

  23. a) R$155.000,00 b) R$ 50.000,00 c) R$ 40.000,00

  24. R$ 1.730,30

  25. a) 80% b) V = 92

  26. 37,5%

  27. C

  28. U1: 300 e U2: 200

  29. \frac{2}{5}

  30. 10% a.m.

  31. E

  32. E

  33. 25%

  34. A

  35. 10

  36. E

  37. R$ 500,00

[editar] Referências

  1. Matemática – Contextos e Aplicações; Volume Único; Luiz Roberto Dante; Editora: Ática
  2. Álgebra I – Coleção Objetivo; Giuseppe Nobilioni; Editora Sol
  3. Álgebra Il – Coleção Objetivo; Giuseppe Nobilioni; Editora Sol
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