Números Complexos

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Tabela de conteúdo

[editar] Introdução

Nas equações do segundo grau, aprendemos que as equações que apresentam “delta” negativo não possuem solução, ou raízes. Parece mesmo natural quando pensamos que não existe número negativo que, multiplicado por ele mesmo, resulte em outro número negativo. A humanidade aceitou durante muito tempo essa afirmação. A partir do século XVII no entanto, desenvolveu-se uma nova forma de lidar com esse fenômeno. As conseqüências disso é que, o conjunto dos números reais passou a ser interpretado como um caso particular dentro do conjunto que estudaremos agora, o conjunto dos números complexos. A maior aplicação dos números complexos atualmente é a eletricidade e a análise de sistemas físicos em geral. Também os números complexos vão servir de base para o estudo do nosso próximo capítulo: os polinômios.

[editar] Definição e Forma algébrica

Em matemática, os números complexos são os elementos do conjunto \mathbb{C}, uma extensão do conjunto dos números reais \mathbb{R}, onde existe um elemento que representa a raiz quadrada de número -1, a assim chamada unidade imaginária.

Cada número complexo C pode ser representado na forma:

C = a + bi \,\!



onde a e b são números reais conhecidos e i denota a unidade imaginária:

i = \sqrt{-1}



[editar] O conjunto dos números complexos

Podemos afirmar, então, que:

“Todo número real é um número complexo com parte imaginária nula.” Isso quer dizer que o conjunto dos números complexos contém o conjunto dos números reais e, conseqüentemente, seus subconjuntos.

Complexo1.jpg
O conjunto dos números reais e naturais, dentre outros, estão contidos no conjunto dos números complexos, assim como o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números reais.



[editar] Os números complexos e as equações do segundo grau – o conjugado de um número complexo

Uma equação do segundo grau onde o cálculo do termo “delta” resulte em um número negativo, não tem solução dentro dos números reais. Porém, a mesma equação passa a ter solução dentro dos números complexos. Na verdade, pode-se dizer que:

“Toda equação do segundo grau possui solução dentro dos números complexos.”



Exemplo: Seja a equação x2 + x + 1 = 0. No cálculo do delta, temos:

\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4.1.1 = -3 \,\!



E a resolução fica:

\begin{matrix} x_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2.1} = \frac{-1+\sqrt{3}.\sqrt{-1}}{2} = \frac{-1+\sqrt{3}.i}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \\ \\ x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1-\sqrt{-3}}{2.1} = \frac{-1-\sqrt{3}.\sqrt{-1}}{2} = \frac{-1-\sqrt{3}.i}{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \end{matrix}



Ou seja, o conjunto solução é:

S = \left \{ - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i ; - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \right \}



Outro exemplo: Seja a outra equação x2 + 4x + 5 = 0.

\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4.1.5 = -4 \,\!



\begin{matrix} x_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4+\sqrt{-4}}{2.1} = \frac{-4+\sqrt{4}.\sqrt{-1}}{2} = \frac{-4+2.i}{2} = - \frac{4}{2} + \frac{2}{2}i = - 2 + i \\ \\ x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4-\sqrt{-4}}{2.1} = \frac{-4-\sqrt{4}.\sqrt{-1}}{2} = \frac{-4-2.i}{2} = - \frac{4}{2} - \frac{2}{2}i = - 2 - i \end{matrix}



Logo, S = \left \{ - 2 + i ; - 2 - i \right \}.

Você já deve ter notado que:

“Em uma equação do segundo grau com soluções complexas, os números diferem apenas por possuírem partes imaginárias opostas.”



Dizemos que os números complexos que possuem partes imaginárias opostas são números complexos conjugados.

Exemplos:

• O conjugado do número complexo 1 + i é o número complexo 1 - i. • O conjugado do número complexo 100\sqrt{3} + \sqrt{2}i é o número complexo 100\sqrt{3} - \sqrt{2}i. • O conjugado do número complexo 3i é o número complexo -3i.

Então, podemos dizer o seguinte em relação às equações do segundo grau:

  1. Se um número complexo for solução de uma equação do segundo grau, o conjugado desse número complexo também será solução.
  2. A solução de uma equação do segundo grau cujo termo “delta” resultar em um número negativo serão dois números complexos conjugados.

Exemplo: Sabe-se que 1+i é uma das raízes da equação x2 − 2x + 2 = 0. Logo, 1-i também será raiz da mesma equação.

Prova:

\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4.1.2 = -4 \,\!



\begin{matrix} x_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-2)+\sqrt{-4}}{2.1} = \frac{2+\sqrt{4}.\sqrt{-1}}{2} = \frac{2+2.i}{2} = \frac{2}{2} + \frac{2}{2}i = 1 + i \\ \\ x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-2)-\sqrt{-4}}{2.1} = \frac{2-\sqrt{4}.\sqrt{-1}}{2} = \frac{2-2.i}{2} = \frac{2}{2} - \frac{2}{2}i = 1 - i \end{matrix}

[editar] Igualdade de números complexos

Dois números complexos C1 = a + bi e C2 = c + di são iguais se, e somente se: a = c e b = d ,ou seja, se suas partes reais e suas partes imaginárias forem iguais.

Exemplo: Dado o número complexo C = x + 3yixi + 2y, calcule os valores de x e y para que tenhamos C = 21 + 24i:

\begin{matrix} C = x + 3yi - xi + 2y = x + 2y - xi + 3yi = & \underbrace {x + 2y} & + & \underbrace {\left( { - x + 3y} \right)}i \\ \ & a & \ & b \end{matrix}



Para que seja estabelecida a condição de igualdade, devemos ter:

\begin{matrix} \underbrace {x + 2y} & + &  \underbrace {\left( { - x + 3y} \right)}i & = & \underbrace {21} & + & \underbrace {24}i \\ a & \ & b & \ & c & \ & d \end{matrix}

O que significa:

\left \{ \begin{matrix} x + 2y = 21 & (a = c) \\ - x + 3y = 24 & (b = d) \end{matrix} \right.



Resolvendo o sistema, obtemos as soluções x = 3 e y = 9.

[editar] Os números complexos e o plano cartesiano

Os números complexos podem ser representados no plano cartesiano como segue:

Complexo2.jpg



Note que as coordenadas no eixo x representam a parte real no número complexo e as coordenadas no eixo y representam a parte imaginária. Cada número complexo equivale a um ponto no plano cartesiano.

Exemplo: Representar no plano cartesiano os números complexos 3 + 4i, 3 - 4i, - 2 +3i e - 2 - 3i. Como percebemos que dois números são complexos conjugados através do plano cartesiano?

Resposta:

Complexo3.jpg



Percebemos que dois números são complexos conjugados quando eles são simétricos em relação ao eixo x.

[editar] Módulo de um número complexo

Dado que podemos representar um número complexo como um ponto no plano cartesiano, definimos que o módulo de um número complexo é a distância deste ponto até a origem.

Podemos concluir então, do Teorema de Pitágoras (e da geometria analítica – distância entre dois pontos) que, o módulo de um número complexo C1 = a + bi é calculado da seguinte forma:

\left| {C_1 } \right| = \sqrt {a^2  + b^2 }



Exemplo:

(UFRN - adaptado) Qual o módulo do número complexo 3 + 4i?

Resposta: \left| {3 + 4i} \right| = \sqrt {3^2  + 4^2 }  = 5.

Exercício resolvido: Desenhe no plano cartesiano, todos os números complexos com módulo igual a 3. Que figura geométrica é formada?

Sabemos que módulo é a distância do ponto (que representa o número complexo) à origem. Então temos que achar os pontos cuja distância à origem vale 3. O conjunto de todos esses pontos está na figura abaixo:

Complexo4.jpg



Nota-se então que a figura geométrica obtida com todos os números complexos cujo módulo vale 3 é uma circunferência. Note na figura também, que números complexos conjugados tem o mesmo módulo.

[editar] Fase de um número complexo e representação Polar

Como vemos, os números complexos com o mesmo módulo definem uma circunferência no plano cartesiano. Ou seja (note na figura acima), o número terá o mesmo módulo que 2 + i\sqrt 5, 2 - i\sqrt 5, 3i, − 3i, 3, -3, etc...

Imagine, em cada caso, uma reta que liga cada um desses números complexos à origem.

Complexo5.jpg



Note que cada uma dessas retas faz um ângulo diferente com o eixo x.

Complexo6.jpg



O ângulo que a reta – que relaciona o número complexo com a origem – faz com o eixo x denomina-se fase ou argumento do número complexo. Assim, dizemos que:

Note no caso do número \sqrt{5} + 2i, por exemplo, que:

Complexo7.jpg



De acordo com a definição de seno, cosseno e tangente, a fase θ de um ângulo complexo C = a + bi é calculada por:

\left \{ \begin{matrix} tg \theta  = \frac{b}{a} \\ \\ sen \theta = \frac{b}{{\left| C \right|}} \\ \\ cos \theta  = \frac{a}{{\left| C \right|}} \end{matrix} \right.



sabendo que \left| C \right| = \sqrt {a^2  + b^2 }.

Cada número complexo possui um módulo e uma fase diferentes, como podemos ver a seguir:

Se você entendeu isso, note que podemos representar um número complexo então, de duas formas:

Essa última forma de representação chama-se forma polar de representação dos números complexos. A forma polar de um número complexo a+bi é dada por:

C = a + bi = m\left| \!{\underline {\, \theta  \,}} \right., onde:

 m = \left| C \right| = \sqrt {a^2  + b^2 }

 \left \{ \begin{matrix}\theta  = \tan ^{ - 1} \left( {\frac{b}{a}} \right) \\ \\ \theta  = \cos ^{ - 1} \left( {\frac{a}{m}} \right) \\ \\ \theta  = sen^{ - 1} \left( {\frac{b}{m}} \right) \end{matrix} \right.



Inversamente, a forma algébrica de um número complexo C = m\left| \!{\underline {\, \theta  \,}} \right. é calculada por:

C = m\left| \!{\underline {\, \theta  \,}} \right. = a + bi, onde:

a = m cos \theta \,\! e b = m sen \theta \,\!



Podemos escrever também, que:

C = a + bi = \left( {m\cos \theta } \right) + \left( {msen\theta } \right)i = m\left( {\cos \theta  + i.sen\theta } \right)



Exemplo: Exemplo: Passar para a forma polar os números complexos -3+4i e 1+i.

  1. O módulo de -3+4i é dado por: m = \sqrt {\left( { - 3} \right)^2  + 4^2 }  = 5.

    A fase de -3+4i é dada por: \theta  = tg^{ - 1} \left( {\frac{4}{{ - 3}}} \right) = tg^{ - 1} \left( { - 1.33} \right) =  - 53,06^ \circ.

    Logo, a forma polar de -3+4i é 5\left| \!{\underline {\,  { - 53,06^ \circ  } \,}} \right..
  2. O módulo de 1+i é dado por: m = \sqrt {1^2  + 1^2 }  = \sqrt 2.

    A fase de 1+i é dada por: \theta  = tg^{ - 1} \left( {\frac{1}{1}} \right) = tg^{ - 1} 1 = 45^ \circ .

    Logo, a forma polar de 1+i é \sqrt 2 \left| \!{\underline {\,  {45^ \circ  } \,}} \right..

Exemplo: Passar para a forma algébrica os números 2\left| \!{\underline {\,  {30^ \circ  } \,}} \right. e 3\left| \!{\underline {\,  {45^ \circ  } \,}} \right..

2\left| \!{\underline {\, {30^ \circ  } \,}} \right.  = 2.\left( {\cos 30^ \circ   + i.sen30^ \circ  } \right) = 2.\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + i.\frac{1}{2}} \right) = \sqrt 3  + i

 3\left| \!{\underline {\,  {45^ \circ  } \,}} \right.  = 3.\left( {\cos 45^ \circ   + i.sen45^ \circ  } \right) = 3.\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + i.\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} + i.\frac{{3\sqrt 2 }}{2}

[editar] Operações com números complexos

[editar] Adição e subtração

Para adicionar ou subtrair números complexos, é preferível que estejam na forma algébrica. Se não estiverem, devemos buscar a conversão.

Então, fazemos as operações com os termos semelhantes: somamos ou subtraímos a parte real dos números da operação; Depois fazemos a mesma coisa com a parte imaginária, tomando cuidado com os sinais algébricos envolvidos.

Exemplo: Calcular a soma e a subtração dos números complexos 2\left| \!{\underline {\, {30^ \circ  } \,}} \right. e 2\left| \!{\underline {\, { - 30^ \circ  } \,}} \right..

Vamos transformar esses números complexos para a forma algébrica:

2\left| \!{\underline {\, {30^ \circ  } \,}} \right.  = 2.\left( {\cos 30^ \circ   + i.sen30^ \circ  } \right) = 2.\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + i.\frac{1}{2}} \right) = \sqrt 3  + i



2\left| \!{\underline {\, { - 30^ \circ  } \,}} \right.  = 2.\left( {\cos \left( { - 30^ \circ  } \right) + i.sen\left( { - 30^ \circ  } \right)} \right) = 2.\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + i.\left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right) = \sqrt 3  - i



Então fazemos:

\left( {\sqrt 3  - i} \right) + \left( {\sqrt 3  + i} \right) = \sqrt 3  - \not i + \sqrt 3  + \not i = 2\sqrt 3



\left( {\sqrt 3  - i} \right) - \left( {\sqrt 3  + i} \right) = \sqrt {\not 3}  - i - \sqrt {\not 3}  - i =  - 2i



Note, pelo desenho abaixo que simbolizam os dois números complexos e o número complexo soma, que o procedimento é análogo a uma soma de vetores.

Complexo8.jpg



[editar] Multiplicação e divisão

Para multiplicar ou dividir números complexos, é preferível que estejam na forma polar. Se não estiverem, devemos buscar a conversão.

  1. Multiplicamos ou dividimos os módulos, de acordo com a operação envolvida.
  2. Se a operação for multiplicação, a fase resultante será a soma das fases envolvidas;
  3. Se a operação for divisão, a fase resultante será a subtração das fases envolvidas (a fase do dividendo menos a fase do divisor).

Outra alternativa é, caso os dois números estejam na forma algébrica, aplicar a propriedade distributiva. Analise com cuidado o exemplo a seguir:

Exemplos: Calcule o valor de \frac{{1 + i}}{{\sqrt 3  + i}} e o valor de \left( {1 + i} \right).\left( {\sqrt 3  + i} \right) na forma algébrica.

Solução:

Transformação para forma polar

  1. Cálculo do módulo de 1+i: \sqrt {1^2  + 1^2 }  = \sqrt 2.

  2. Cálculo do módulo de \sqrt 3 + i: \sqrt {\left( {\sqrt 3 } \right)^2  + 1^2 }  = \sqrt {3 + 1^2 }  = 2.

  3. Cálculo do argumento de 1+i: tg\theta  = \frac{1}{1} = 1 \Rightarrow \theta = 45 ^ \circ.

  4. Cálculo do argumento de \sqrt 3 + i: tg\theta  = \frac{1}{\sqrt 3} = \frac{\sqrt 3}{3} \Rightarrow \theta = 30 ^ \circ.

Logo, 1 + i = \sqrt 2 \left| \!{\underline {\, {45^ \circ  } \,}} \right. e \sqrt 3  + i = 2\left| \!{\underline {\, {30^ \circ  } \,}} \right..

Cálculo da divisão

  1. Então, temos que:

    \frac{{1 + i}}{{\sqrt 3  + i}} = \frac{{\sqrt 2 \left| \!{\underline {\, {45^ \circ  } \,}} \right. }}{{2\left| \!{\underline {\, {30^ \circ  } \,}} \right. }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left| \!{\underline {\, {45^ \circ   - 30^ \circ  } \,}} \right.  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left| \!{\underline {\, {15^ \circ  } \,}} \right.


  2. Lembrando que:

    \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left| \!{\underline {\, {15^ \circ  } \,}} \right.  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos 15^ \circ   + i.\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}.sen15^ \circ  } \right) \simeq 0,96 + 0,18i


  3. Logo, podemos escrever:

    \frac{{1 + i}}{{\sqrt 3  + i}} \simeq 0,96 + 0,18i


Cálculo da multiplicação

Para calcular \left( {1 + i} \right).\left( {\sqrt 3  + i} \right) podemos proceder de duas formas. Uma é aplicar simplesmente a distributiva e daí teremos:

\left( {1 + i} \right).\left( {\sqrt 3  + i} \right) = \sqrt 3  + i + \sqrt 3 i + i^2  = \sqrt 3  + i + \sqrt 3 i + \left( { - 1} \right) =  - 1 + \sqrt 3  + i.\left( {1 + \sqrt 3 } \right)



Logo,

\left( {1 + i} \right).\left( {\sqrt 3  + i} \right) =  - 1 + \sqrt 3  + i.\left( {1 + \sqrt 3 } \right) \simeq 0,73 + 2,73i



A outra forma é fazer as transformações para forma polar e aplicar a regra descrita:

1 + i = \sqrt 2 \left| \!{\underline {\, {45^ \circ  } \,}} \right. e \sqrt 3  + i = 2\left| \!{\underline {\, {30^ \circ  } \,}} \right.



Logo,

  1. \left( {1 + i} \right).\left( {\sqrt 3  + i} \right) = \left( {\sqrt 2 \left| \!{\underline {\, {45^ \circ  } \,}} \right. } \right).\left( {2\left| \!{\underline {\, {30^ \circ  } \,}} \right. } \right) = 2\sqrt 2 \left| \!{\underline {\, {30^ \circ   + 45^ \circ  } \,}} \right.  = 2\sqrt 2 \left| \!{\underline {\, {75} \,}} \right. ^ \circ

    Lembrando que,

  2. 2\sqrt 2 \left| \!{\underline {\, {75^ \circ  } \,}} \right.  = 2\sqrt 2 .\cos 75^ \circ   + i.2\sqrt 2 .sen75^ \circ   \cong 0,73 + 2,73i

Que é a mesma resposta obtida do primeiro modo.

[editar] A potenciação dos números complexos

[editar] Os produtos notáveis e o quadrado dos números complexos

Elevando-se o complexo 2+3i ao quadrado:

\left( {2 + 3i} \right)^2



Teremos um quadrado da soma de dois termos, cujo desenvolvimento é dado a seguir:

\left( {2 + 3i} \right)^2  = 2^2  + 2.2.3i + \left( {3i} \right)^2  = 4 + 12i + 9.i^2



Lembrando que: , temos que:

\left( {2 + 3i} \right)^2  = 2^2  + 2.2.3i + \left( {3i} \right)^2  = 4 + 12i + 9.i^2  = 4 + 12i + 9.\left( { - 1} \right) =  - 5 + 12i



Ou seja: \left( {2 + 3i} \right)^2  =  - 5 + 12i.

Da mesma forma, se tivermos \left( {2 - 4i} \right)^2 , temos um quadrado da diferença de dois termos:

Daí:

\left( {2 - 4i} \right)^2  = 2^2  - 2.2.4i + \left( {4i} \right)^2  = 4 - 16.i + 16.i^2  = 4 - 16.i + 16.\left( { - 1} \right) =  - 12 - 16i



[editar] A potenciação da unidade imaginária

Partindo da definição i = \sqrt { - 1}, podemos escrever:

\begin{matrix} i^0  = 1 \\ \\ i^1  = i \\ \\ i^2  =  - 1 \\ \\ i^3  = i^2 .i =  - 1.i =  - i \\ \\ i^4  = i^3 .i =  - i.i =  - i^2  =  - \left( { - 1} \right) = 1 \\ \\ i^5  = i^4 .i = 1.i = i \\ \\ i^6  = i^5 .i = i.i = i^2  =  - 1 \\ \\ i^7  = i^6 .i =  - 1.i =  - i \\ \\ i^8  = i^7 .i =  - i.i =  - i^2  =  - \left( { - 1} \right) = 1 \end{matrix}



Ou seja, colocando o raciocínio em uma tabela:

i elevado a É igual a
0 1
1 i
2 -1
3 -i
4 1
5 i
6 -1
7 -i
8 1
9 i
10 -1
11 -i


Note que a seqüência de potenciação dos números complexos se repete de 4 em 4 vezes (e sempre que o expoente for múltiplo de 4 o resultado da exponenciação é 1), de modo que, para calcular qualquer expoente de um número complexo:

  1. Divide-se o expoente por 4;

  2. Se o resto for 0, o resultado da potenciação é 1;

  3. Se o resto for 1, o resultado da potenciação é i;

  4. Se o resto for 2, o resultado da potenciação é -1;

  5. Se o resto for 3, o resultado da potenciação é –i;

Exemplo: Calcular i1249.

A divisão de 1249 por 4 tem quociente 312 e resto 1. Se a nossa tabela continuasse até o 1249, a seqüência iria se repetir por 312 vezes exatas e no número 4*312 = 1248 (múltiplo de 4), o resultado é 1. Logo:

i1249 = i1 = i



[editar] Potência de um número complexo na forma polar

A potenciação é o resultado de várias multiplicações, correto?

Por exemplo:

24 = 2.2.2.2



Logo, podemos dizer que:

\left( {1 + i} \right)^4  = \left( {1 + i} \right).\left( {1 + i} \right).\left( {1 + i} \right).\left( {1 + i} \right)



Com o que aprendemos de multiplicação de números complexos (multiplica-se os módulos, soma-se as fases) podemos dizer que:

Se 1 + i = \sqrt 2 \left| \!{\underline {\, {45^ \circ  } \,}} \right. , então:

\left( {1 + i} \right)^4  = \left( {\sqrt 2 \left| \!{\underline {\, {45^ \circ  } \,}} \right. } \right).\left( {\sqrt 2 \left| \!{\underline {\, {45^ \circ  } \,}} \right. } \right).\left( {\sqrt 2 \left| \!{\underline {\, {45^ \circ  } \,}} \right. } \right).\left( {\sqrt 2 \left| \!{\underline {\,  {45^ \circ  } \,}} \right. } \right)



Multiplicando os módulos e somando as fases, temos:

\left( {1 + i} \right)^4  = \left( {\sqrt 2 \left| \!{\underline {\, {45^ \circ  } \,}} \right. } \right).\left( {\sqrt 2 \left| \!{\underline {\,  {45^ \circ  } \,}} \right. } \right).\left( {\sqrt 2 \left| \!{\underline {\, {45^ \circ  } \,}} \right. } \right).\left( {\sqrt 2 \left| \!{\underline {\,  {45^ \circ  } \,}} \right. } \right) = \left( {\sqrt 2 } \right)^4 \left| \!{\underline {\, {4.45^ \circ  } \,}} \right.



Então \left( {1 + i} \right)^4  = \left( {\sqrt 2 } \right)^4 \left| \!{\underline {\, {4.45^ \circ  } \,}} \right.  = 4\left| \!{\underline {\, {180^ \circ  } \,}} \right.  =  - 4i na forma algébrica.

Logo, um número complexo elevado a um expoente m fica da seguinte maneira:

\left( {m\left| \!{\underline {\, \theta  \,}} \right. } \right)^p  = m^p \left| \!{\underline {\, {p.\theta } \,}} \right.



E transformando para a forma algébrica, temos:

\left( {m\left| \!{\underline {\, \theta  \,}} \right. } \right)^p  = \left[ {m\left( {\cos \theta  + isen\theta } \right)} \right]^p  = m^p \left| \!{\underline {\, {p.\theta } \,}} \right.  = m^p \left( {\cos \left( {p.\theta } \right) + i.sen\left( {p.\theta } \right)} \right)



Extrapolando um pouco este conceito, lembrando que uma radiciação é um expoente fracionário (por exemplo, \sqrt[5]{{2^3 }} = 2^{\frac{3}{5}} ), podemos aplicar esses conceitos aos números complexos, ou seja:

\sqrt[n]{{\left( {m\left| \!{\underline {\, \theta  \,}} \right. } \right)^p }} = m^{\frac{p}{n}} \left| \!{\underline {\, {\frac{p}{n}.\theta } \,}} \right.



E, transformando para a forma algébrica, temos:

\sqrt[n]{{\left( {m\left| \!{\underline {\, \theta  \,}} \right. } \right)^p }} = \sqrt[n]{{\left( {a + bi} \right)^p }} = \sqrt[n]{{\left( {m\cos \theta  + i.m.sen\theta } \right)^p }} = m^{\frac{p}{n}} \left| \!{\underline {\, {\frac{p}{n}.\theta } \,}} \right.  = m^{\frac{p}{n}} \cos \left( {\frac{p}{n}.\theta } \right) + i.m^{\frac{p}{n}} .sen\left( {\frac{p}{n}.\theta } \right)



Esta fórmula é conhecida como fórmula de Moivre da potenciação dos números complexos.

[editar] Exercícios

  1. Seja o número complexo z = \left( {m + 2i} \right).\left( {2 - i} \right), em que m é um número real. Para qual valor de m o número z é imaginário puro?

  2. Para quais valores de x o número complexo z = x + \left( {x^2  - 4} \right)i é real?

  3. Partindo-se da igualdade 2\left( {m - n} \right) + i\left( {m + ni} \right) - i = 0, quanto vale m+n?

  4. Calcule o valor da expressão 3i5 + 2i4 + 5i3.

  5. Calcule o valor de \frac{{2 - i}}{{2 + i}}.

  6. Qual o conjugado de \frac{{1 + 3i}}{{2 - i}}?

  7. Resolva a expressão \frac{{5 - i}}{{1 + i}} - \frac{{4 - 3i}}{{2 + i}}.

  8. Quanto vale \frac{{i^{15}  + i^{16} }}{{i^{17}  - i^{18} }}?

  9. Calcular y = i + i2 + i3 + i4 + ... + i1001.

  10. Calcular o módulo de \left( {1 + 3i} \right)^4 .

  11. Calcular \left( {1 - i} \right)^{10}.

  12. Calcular o valor de A = i + \frac{{\left( {1 + 3i} \right).\left( {1 + 2i} \right)}}{{1 - 3i}}.

[editar] Veja também

  1. Este site, do Instituto deMatemática e Estatística trata da história dos números complexos e a partir de quais problemas eles se desenvolveram: http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/complexos.html

  2. Além de conter muitas curiosidades, conta também a história de Leonard Euler, notável cientista presente na história dos números complexos: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euler/index.htm

  3. Este outro site, nos fala de uma aplicação para os números complexos: http://sorzal-df.fc.unesp.br/~edvaldo/dominiocores.htm

[editar] Respostas

  1. 5i

  2. x =  \pm 2

  3. -1

  4. 2-2i

  5. \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i

  6. \frac{{ - 1 - 7i}}{5}

  7. 1-i

  8. -i

  9. i

  10. 100

  11. -32i

  12. -2

[editar] Sites e livros consultados

  1. http://www.algosobre.com.br/matematica/numeros-complexos-i.html
  2. http://pt.wikipedia.org/wiki/Número_complexo
  3. http://br.geocities.com/silvandabr/complexo.html
  4. http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/complexos.html
  5. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Rui. Matemática Fundamental, 2º grau. Volume Único. São Paulo: FTD, 1994.
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